Tiga titik adalah segaris (collinear) jika semuanya terletak pada satu garis lurus. Ujiannya menggunakan kecerunan: jika kecerunan dari A ke B sama dengan kecerunan dari B ke C, titik itu segaris. Soalan berkaitan meminta koordinat yang hilang supaya tiga titik itu menjadi sebaris.
Mengapa kecerunan yang sama membuktikannya?
Kecerunan garis lurus adalah sama di mana-mana sepanjang garis itu. Jika AB dan BC mempunyai kecerunan yang sama, kedua-duanya menuju arah yang sama. Oleh kerana kedua-duanya juga berkongsi titik B, kedua-duanya tidak boleh menjadi dua garis berasingan, jadi A, B dan C terletak pada satu garis.
Cara mencari setiap kecerunan dibincangkan dalam mengira kecerunan daripada dua titik. Pelajaran ini menggunakan kemahiran itu dua kali dalam satu soalan.
Bagaimana mengiranya, langkah demi langkah?
- Pilih sepasang tembereng yang berkongsi satu titik, seperti AB dan BC.
- Cari setiap kecerunan dengan (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), dengan susunan yang sama pada pengangka dan penyebut.
- Ringkaskan kedua-dua pecahan sepenuhnya.
- Bandingkan. Kecerunan yang sama bermaksud segaris; kecerunan berbeza bermaksud tidak segaris.
- Tulis kesimpulan yang menamakan titik yang dikongsi.
Contoh berlangkah
Tunjukkan bahawa A(1, 2), B(3, 6) dan C(6, 12) adalah segaris.
Kecerunan AB: (6 − 2)/(3 − 1) = 4/2 = 2.
Kecerunan BC: (12 − 6)/(6 − 3) = 6/3 = 2.
Kesimpulan: kedua-dua kecerunan ialah 2, dan B dikongsi oleh AB dan BC. Oleh itu, A, B dan C adalah segaris.
Semakan bebas: garis melalui A dengan kecerunan 2 ialah y − 2 = 2(x − 1), jadi y = 2x. Uji titik lain: B memberi 2 × 3 = 6 ✓ dan C memberi 2 × 6 = 12 ✓. Ketiga-tiga titik memenuhi y = 2x.
Kes berbeza: P(0, 1), Q(2, 5) dan R(5, 10). Kecerunan PQ ialah 4/2 = 2, tetapi kecerunan QR ialah 5/3. Kedua-duanya berbeza, jadi P, Q dan R tidak segaris.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah membalikkan salah satu kecerunan.
Penyelesaian yang salah: kecerunan BC = (6 − 3)/(12 − 6) = 3/6 = 1/2, jadi “titik itu tidak segaris”.
Pelajar meletakkan beza x pada pengangka dan beza y pada penyebut bagi BC sahaja.
Kecerunan sentiasa perubahan y bagi setiap perubahan x. Tulis perkataan “naik per larian” di sebelah penyelesaian jika perlu. Kecerunan BC yang betul ialah 6/3 = 2, yang sepadan dengan AB.
Kesilapan kedua ialah membandingkan AB dengan AC dan terlupa susunan penolakan, yang boleh menterbalikkan tanda dan memberi jawapan “tidak segaris” yang palsu.
Semak diri anda
Cuba tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Adakah (−1, −5), (2, 1) dan (5, 7) segaris?
Lihat jawapan
Kecerunan dua titik pertama: (1 − (−5))/(2 − (−1)) = 6/3 = 2. Kecerunan dua titik terakhir: (7 − 1)/(5 − 2) = 6/3 = 2. Kecerunan sama dan (2, 1) dikongsi, jadi ya, segaris.
2. Adakah (0, 3), (4, 5) dan (8, 8) segaris?
Lihat jawapan
Kecerunan dua titik pertama: (5 − 3)/(4 − 0) = 2/4 = 1/2. Kecerunan dua titik terakhir: (8 − 5)/(8 − 4) = 3/4. Kecerunan berbeza, jadi tidak, tidak segaris.
3. Cari k supaya (1, 3), (3, 7) dan (5, k) segaris.
Lihat jawapan
Kecerunan dua titik pertama: (7 − 3)/(3 − 1) = 2. Bagi tembereng seterusnya: (k − 7)/(5 − 3) = 2, jadi k − 7 = 4 dan k = 11. Semakan: kecerunan dari (1, 3) ke (5, 11) ialah 8/4 = 2. ✓
Langkah seterusnya
Anda kini telah mempelajari setiap kemahiran dalam modul ini. Kembali ke mengenal pasti garis selari dan serenjang jika anda mahu membandingkan bagaimana kecerunan menentukan setiap kes, kemudian selesaikan set latihan geometri koordinat. Latihan pengiraan tanpa kalkulator berguna untuk mengekalkan pecahan yang tepat.
Pelajar yang kehilangan markah pada kesimpulan bertulis sering sudah tahu matematiknya. Guru dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu boleh menunjukkan cara menyusun penaakulan supaya pemeriksa nampak setiap langkah.