Dua belas soalan ini melatih setiap kemahiran dalam geometri koordinat: kecerunan, titik tengah, panjang, persamaan garis, garis selari dan serenjang, serta titik segaris. Soalan disusun dari yang lebih mudah kepada yang lebih sukar. Semuanya asli.
Selesaikan setiap soalan di atas kertas, dengan lakaran pantas jika membantu. Kemudian buka jawapan dan bandingkan kaedah anda, bukan nilai akhir sahaja. Gunakan kalkulator hanya apabila soalan menyatakannya.
Soalan dan jawapan berlangkah
S1. Cari kecerunan garis yang melalui (2, 1) dan (6, 9).
Lihat jawapan
Kenaikan = 9 − 1 = 8. Larian = 6 − 2 = 4. Kecerunan = 8/4 = 2.
Semakan: bergerak 4 ke sisi dan 8 ke atas sepadan dengan 2 ke atas bagi setiap 1 ke sisi. ✓
S2. Cari kecerunan garis yang melalui (−3, 7) dan (1, −5).
Lihat jawapan
Kenaikan = −5 − 7 = −12. Larian = 1 − (−3) = 4. Kecerunan = −12/4 = −3.
Semakan: menukar titik memberi 12/(−4) = −3. ✓
S3. Cari titik tengah bagi titik (−4, 6) dan (10, −2).
Lihat jawapan
x = (−4 + 10)/2 = 6/2 = 3. y = (6 + (−2))/2 = 4/2 = 2. Titik tengahnya ialah (3, 2).
Semakan: (3, 2) berjarak 7 dalam x daripada setiap hujung (−4 ke 3 dan 3 ke 10) dan 4 dalam y daripada setiap hujung (6 ke 2 dan 2 ke −2). ✓
S4. Cari panjang tembereng yang menyambungkan (1, 2) dan (5, 5).
Lihat jawapan
Beza: 5 − 1 = 4 dan 5 − 2 = 3. Panjang = √(16 + 9) = √25 = 5.
Semakan: ini segi tiga bersudut tegak 3-4-5. ✓
S5. Cari panjang tepat tembereng yang menyambungkan (−1, 3) dan (4, −2).
Lihat jawapan
Beza: 4 − (−1) = 5 dan −2 − 3 = −5. Panjang = √(25 + 25) = √50 = √(25 × 2) = 5√2.
Semakan: 5√2 ≈ 5 × 1.414 = 7.07, dan √50 ≈ 7.07. ✓
S6. Cari persamaan garis berkecerunan 2 yang melalui (4, −3).
Lihat jawapan
y − (−3) = 2(x − 4), jadi y + 3 = 2x − 8, memberi y = 2x − 11.
Semakan: pada x = 4, y = 8 − 11 = −3. ✓
S7. Cari persamaan garis yang melalui (−2, 8) dan (2, 2).
Lihat jawapan
Kecerunan = (2 − 8)/(2 − (−2)) = −6/4 = −3/2. Menggunakan (2, 2): y − 2 = −3/2(x − 2), jadi y − 2 = −3/2 x + 3, memberi y = −3/2 x + 5.
Semak dengan titik yang satu lagi: pada x = −2, y = 3 + 5 = 8. ✓
S8. Cari persamaan garis yang selari dengan 3x + y = 5 dan melalui (1, 4).
Lihat jawapan
Susun semula: y = −3x + 5, jadi kecerunannya −3. Garis selari mempunyai kecerunan −3. Kemudian y − 4 = −3(x − 1), jadi y − 4 = −3x + 3, memberi y = −3x + 7.
Semakan: pada x = 1, y = −3 + 7 = 4. ✓
S9. Cari persamaan garis yang serenjang dengan y = x/2 − 3 dan melalui (2, −5).
Lihat jawapan
Kecerunannya 1/2. Kecerunan serenjang ialah songsangan negatif: −2. Kemudian y − (−5) = −2(x − 2), jadi y + 5 = −2x + 4, memberi y = −2x − 1.
Semakan: pada x = 2, y = −4 − 1 = −5. ✓ Juga (1/2) × (−2) = −1. ✓
S10. Tunjukkan bahawa (2, −1), (5, 4) dan (11, 14) adalah segaris.
Lihat jawapan
Kecerunan dua titik pertama: (4 − (−1))/(5 − 2) = 5/3. Kecerunan dua titik terakhir: (14 − 4)/(11 − 5) = 10/6 = 5/3.
Kecerunan sama dan (5, 4) dikongsi oleh kedua-dua tembereng, jadi ketiga-tiga titik adalah segaris.
S11. M(−1, 4) ialah titik tengah AB. A ialah (3, −2). Cari koordinat B.
Lihat jawapan
x: 2 × (−1) − 3 = −5. y: 2 × 4 − (−2) = 10. Jadi B ialah (−5, 10).
Semakan: titik tengah (3, −2) dan (−5, 10) ialah (−2/2, 8/2) = (−1, 4). ✓
S12. P ialah (1, 1), Q ialah (5, 3) dan R ialah (3, 7). Tunjukkan bahawa sudut PQR ialah sudut tegak.
Lihat jawapan
Kecerunan PQ = (3 − 1)/(5 − 1) = 2/4 = 1/2. Kecerunan QR = (7 − 3)/(3 − 5) = 4/(−2) = −2.
Hasil darabnya (1/2) × (−2) = −1, jadi PQ dan QR serenjang. Oleh kerana kedua-duanya bertemu di Q, sudut PQR ialah sudut tegak.
Semak dengan panjang: PQ² = 16 + 4 = 20, QR² = 4 + 16 = 20, PR² = 4 + 36 = 40, dan 20 + 20 = 40. ✓
Jika anda tersilap
Gunakan jenis kesilapan untuk menentukan ke mana anda patut pergi seterusnya.
- S1, S2 atau S10 salah, biasanya tanda atau pecahan terbalik: ulang kaji mengira kecerunan daripada dua titik dan menyemak titik segaris.
- S3, S4, S5 atau S11 salah, seperti terlupa membahagi dua atau menambah beza: ulang kaji mencari titik tengah dan panjang tembereng.
- S6 atau S7 salah, apabila persamaan gagal ujian titik: ulang kaji menulis persamaan garis lurus melalui satu titik.
- S8, S9 atau S12 salah, terutamanya langkah balik-dan-negatif: ulang kaji mengenal pasti garis selari dan serenjang.
Simpan catatan ringkas bagi setiap jawapan yang salah dan sebabnya. Log kesilapan dan baris ulang uji boleh membantu anda mengulang soalan baharu bagi kemahiran yang sama beberapa hari kemudian. Latihan pengiraan tanpa kalkulator berguna untuk langkah pecahan.
Jika kesilapan yang sama kembali selepas anda mengulang kaji pelajaran, guru boleh melihat penyelesaian sebenar anda dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu.