用两点计算直线的斜率

直线的斜率（gradient）表示它上升或下降得有多陡：y 的变化量除以 x 的变化量。只要题目给出两个点，并问经过它们的直线，就会用到斜率，它也是坐标几何其他课题的基础。

斜率公式怎么说？

对两个点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，斜率是 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)。分子是上升或下降的量，分母是横向走过的量。

斜率为正，表示直线向右走时上升；斜率为负，表示向右走时下降。斜率为 0 是水平线，而没有斜率值的直线是垂直线。

怎样一步一步算出来？

1. 给点标号。 一个叫 (x₁, y₁)，另一个叫 (x₂, y₂)。哪个是哪个都可以。
2. 按这个顺序把 y 值相减，得到上升量。
3. 按同样的顺序把 x 值相减，得到水平移动量。
4. 用上升量除以水平移动量，再化成最简分数。
5. 检查符号是否合理：画出两个点，直线向右走时是上升还是下降？

例题详解

求经过 P(−3, 4) 和 Q(5, −8) 的直线的斜率。

第一步，标号： (x₁, y₁) = (−3, 4)，(x₂, y₂) = (5, −8)。

第二步，上升量： y₂ − y₁ = −8 − 4 = −12。

第三步，水平移动量： x₂ − x₁ = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8。

第四步，相除： m = −12/8 = −3/2。

第五步，合理性检查： P 在左边偏高，Q 在右边偏低。直线向右走时下降，所以斜率为负是对的。

独立验算： 把标号对调。上升量是 4 − (−8) = 12，水平移动量是 −3 − 5 = −8，得 12/(−8) = −3/2。答案相同。

要留意的错误

常见的失误是在水平移动量里处理不好负号。

错误做法： 水平移动量 = 5 − 3 = 2，所以 m = −12/2 = −6。

学生漏掉了 x 值 −3 的负号，写成了 3。

减去一个负数等于加上它：5 − (−3) = 8，不是 2。在相减之前，给每个负坐标加上括号，这个错误就会消失。画个草图也有帮助，因为斜率 −6 会比图上看到的陡得多。

第二个失误是顺序混乱，例如分子用 −8 − 4，分母却用 3 − 5。两个减法必须保持同一方向。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 求经过 (1, 2) 和 (4, 11) 的直线的斜率。

2. 求经过 (−2, 5) 和 (6, 1) 的直线的斜率。

3. 如果要求经过 (3, −1) 和 (3, 7) 的直线的斜率，会发生什么？

下一步

斜率掌握稳了，就继续学习求中点和线段长度，再用斜率来写出直线方程。无计算器运算训练适合练习分数化简，坐标几何练习题组则把所有技能混合在一起。

有些学生明白公式，但坐标一变成负数就在符号上失分。这正是我们的老师在数学线上一对一补习中会留意的模式。