检查三点是否共线

三点如果都在同一条直线上，就称为共线（collinear）。检验方法用到斜率：如果从 A 到 B 的斜率等于从 B 到 C 的斜率，这三点就共线。相关的题型会要求求出一个缺失的坐标，使三点排成一线。

为什么斜率相等就能证明？

直线上各处的斜率都相同。如果 AB 和 BC 的斜率相等，它们的方向就相同。又因为它们共用点 B，所以不可能是两条分开的直线，因此 A、B、C 在同一条直线上。

怎样求每个斜率，已在用两点计算斜率中讲过。这一课在同一道题里把这项技能用两次。

怎样一步一步算出来？

1. 选出共用一个点的一对线段，例如 AB 和 BC。
2. 求每个斜率：(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)，分子分母的顺序保持一致。
3. 把两个分数完全化简。
4. 比较。 斜率相等表示共线；斜率不同表示不共线。
5. 写出结论，并指明共用的点。

例题详解

证明 A(1, 2)、B(3, 6) 和 C(6, 12) 共线。

AB 的斜率： (6 − 2)/(3 − 1) = 4/2 = 2。

BC 的斜率： (12 − 6)/(6 − 3) = 6/3 = 2。

结论： 两个斜率都是 2，而且 B 是 AB 和 BC 共有的点。因此 A、B、C 共线。

独立验算： 经过 A、斜率为 2 的直线是 y − 2 = 2(x − 1)，即 y = 2x。检验其他点：B 给出 2 × 3 = 6 ✓，C 给出 2 × 6 = 12 ✓。三个点都满足 y = 2x。

对比的例子： P(0, 1)、Q(2, 5)、R(5, 10)。PQ 的斜率是 4/2 = 2，但 QR 的斜率是 5/3。两者不同，所以 P、Q、R 不共线。

要留意的错误

常见的失误是把其中一个斜率上下颠倒。

错误做法： BC 的斜率 = (6 − 3)/(12 − 6) = 3/6 = 1/2，所以“三点不共线”。

学生只在 BC 这一条里把 x 差放在分子，把 y 差放在分母。

斜率永远是 y 的变化量除以 x 的变化量。需要的话，在算式旁边写上“上升量除以水平移动量”。BC 正确的斜率是 6/3 = 2，与 AB 相符。

第二个失误是比较 AB 和 AC 时忘了减法的顺序，这可能让符号翻转，得出错误的“不共线”。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. (−1, −5)、(2, 1) 和 (5, 7) 共线吗？

2. (0, 3)、(4, 5) 和 (8, 8) 共线吗？

3. 求 k，使 (1, 3)、(3, 7) 和 (5, k) 共线。

下一步

你现在已经学完了本课题的每一项技能。如果想比较斜率如何决定每种情况，可以回顾判断平行线与垂直线，然后完成坐标几何练习题组。无计算器运算训练有助于保持分数精确。

在书面结论上失分的学生，往往其实已经会做这道题。数学线上一对一补习中的老师可以教你怎样整理推理，让阅卷员看到每一步。