这十二道题练习坐标几何的每一项技能：斜率、中点、长度、直线方程、平行线与垂直线，以及共线的点。题目由易到难排列，全部为原创。
每道题先在纸上做，需要时画个草图。然后打开答案，比较的是你的方法，而不只是最后的数值。只有题目说明时才使用计算器。
题目与详解
Q1. 求经过 (2, 1) 和 (6, 9) 的直线的斜率。
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上升量 = 9 − 1 = 8，水平移动量 = 6 − 2 = 4，斜率 = 8/4 = 2。
验算：横向走 4、纵向走 8，相当于每横走 1 就上升 2。✓
Q2. 求经过 (−3, 7) 和 (1, −5) 的直线的斜率。
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上升量 = −5 − 7 = −12，水平移动量 = 1 − (−3) = 4，斜率 = −12/4 = −3。
验算：对调两点得 12/(−4) = −3。✓
Q3. 求点 (−4, 6) 和 (10, −2) 的中点。
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x = (−4 + 10)/2 = 6/2 = 3，y = (6 + (−2))/2 = 4/2 = 2。中点是 (3, 2)。
验算：(3, 2) 与两端在 x 方向各相距 7（−4 到 3，3 到 10），在 y 方向各相距 4（6 到 2，2 到 −2）。✓
Q4. 求连接 (1, 2) 和 (5, 5) 的线段的长度。
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差值：5 − 1 = 4 和 5 − 2 = 3。长度 = √(16 + 9) = √25 = 5。
验算：这是一个 3-4-5 直角三角形。✓
Q5. 求连接 (−1, 3) 和 (4, −2) 的线段的精确长度。
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差值：4 − (−1) = 5 和 −2 − 3 = −5。长度 = √(25 + 25) = √50 = √(25 × 2) = 5√2。
验算：5√2 ≈ 5 × 1.414 = 7.07，而 √50 ≈ 7.07。✓
Q6. 求斜率为 2、经过 (4, −3) 的直线方程。
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y − (−3) = 2(x − 4)，所以 y + 3 = 2x − 8，得 y = 2x − 11。
验算：当 x = 4 时，y = 8 − 11 = −3。✓
Q7. 求经过 (−2, 8) 和 (2, 2) 的直线方程。
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斜率 = (2 − 8)/(2 − (−2)) = −6/4 = −3/2。用 (2, 2)：y − 2 = −3/2(x − 2)，所以 y − 2 = −3/2 x + 3，得 y = −3/2 x + 5。
用另一个点验算：当 x = −2 时，y = 3 + 5 = 8。✓
Q8. 求经过 (1, 4) 且与 3x + y = 5 平行的直线方程。
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整理：y = −3x + 5，所以斜率是 −3。平行线的斜率也是 −3。于是 y − 4 = −3(x − 1)，即 y − 4 = −3x + 3，得 y = −3x + 7。
验算：当 x = 1 时，y = −3 + 7 = 4。✓
Q9. 求经过 (2, −5) 且与 y = x/2 − 3 垂直的直线方程。
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斜率是 1/2。垂直线的斜率是负倒数：−2。于是 y − (−5) = −2(x − 2)，即 y + 5 = −2x + 4，得 y = −2x − 1。
验算：当 x = 2 时，y = −4 − 1 = −5。✓ 另外 (1/2) × (−2) = −1。✓
Q10. 证明 (2, −1)、(5, 4) 和 (11, 14) 共线。
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前两点的斜率：(4 − (−1))/(5 − 2) = 5/3。后两点的斜率：(14 − 4)/(11 − 5) = 10/6 = 5/3。
斜率相等，且 (5, 4) 是两条线段共有的点，所以这三点共线。
Q11. M(−1, 4) 是 AB 的中点，A 是 (3, −2)。求 B 的坐标。
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x：2 × (−1) − 3 = −5。y：2 × 4 − (−2) = 10。所以 B 是 (−5, 10)。
验算：(3, −2) 与 (−5, 10) 的中点是 (−2/2, 8/2) = (−1, 4)。✓
Q12. P 是 (1, 1)，Q 是 (5, 3)，R 是 (3, 7)。证明角 PQR 是直角。
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PQ 的斜率 = (3 − 1)/(5 − 1) = 2/4 = 1/2。QR 的斜率 = (7 − 3)/(3 − 5) = 4/(−2) = −2。
乘积 (1/2) × (−2) = −1，所以 PQ 与 QR 垂直。两线在 Q 相交，因此角 PQR 是直角。
用长度验算：PQ² = 16 + 4 = 20，QR² = 4 + 16 = 20，PR² = 4 + 36 = 40，而 20 + 20 = 40。✓
如果做错了
根据错误的类型，决定接下来回到哪里。
- Q1、Q2 或 Q10 做错，通常是符号或分数颠倒： 回顾用两点计算斜率和检查三点是否共线。
- Q3、Q4、Q5 或 Q11 做错，例如忘了除以 2 或把差值相加： 回顾求线段的中点和长度。
- Q6 或 Q7 做错，方程通不过点的检验： 回顾写出经过某点的直线方程。
- Q8、Q9 或 Q12 做错，尤其是倒数再变号这一步： 回顾判断平行线与垂直线。
为每道做错的题和原因做个简短记录。错题记录与重测队列能帮你几天后再做一道同一技能的新题。无计算器运算训练适合练习分数步骤。
如果复习过这一课后同样的错误又回来了，老师可以在数学线上一对一补习中看你实际的解题过程。