Punca tersembunyi ialah penyelesaian sebenar yang tidak ditunjukkan oleh tetingkap semasa. Ini berlaku apabila punca terletak di luar tetingkap, atau apabila dua punca begitu dekat sehingga lengkung kelihatan hanya menyentuh paksi. Pelajaran ini berdasarkan memilih tetingkap paparan.
Bagaimana tetingkap boleh menyembunyikan punca?
Ada dua cara. Yang pertama ialah jarak: punca berada di luar kiri, kanan, atas atau bawah skrin. Yang kedua ialah skala: tetingkap begitu lebar sehingga dua punca yang berdekatan bergabung menjadi satu titik.
Anda tidak dapat membetulkannya dengan merenung gambar lebih lama. Anda mengujinya dengan algebra yang tidak bergantung pada skrin.
Dua ujian algebra yang pantas
Untuk y = x² + bx + c dengan punca p dan q:
- Hasil tambah punca: p + q = −b.
- Hasil darab punca: p × q = c.
- Diskriminan: b² − 4c. Jika positif, ada dua punca; sifar bermakna satu punca berulang; negatif bermakna tiada punca nyata.
Jika skrin menunjukkan satu punca p, punca satu lagi ialah q = −b − p. Anda boleh menyemaknya dengan penggantian.
Contoh berlangkah
Kalkulator menunjukkan y = x² − 52x + 100 memotong paksi-x hanya pada x = 2 dalam tetingkap piawai. Adakah ada punca lain?
Langkah 1, hasil tambah punca: b = −52, jadi p + q = 52. Dengan p = 2, q = 50.
Langkah 2, semakan hasil darab: 2 × 50 = 100, sama dengan c. Kedua-dua ujian bersetuju.
Langkah 3, sahkan dengan pemfaktoran: x² − 52x + 100 = (x − 2)(x − 50), jadi puncanya ialah 2 dan 50.
Langkah 4, sahkan pada kalkulator: tetapkan Xmin = −5, Xmax = 60, Ymin = −700, Ymax = 150. Titik pusingan ialah (26, 676 − 1352 + 100) = (26, −576), jadi Ymin = −700 muat. Kedua-dua persilangan kini kelihatan.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Sekarang ambil y = x² − 4x + 3.99 dalam tetingkap −10 hingga 10.
Kesimpulan yang silap: “Graf menyentuh paksi-x pada x = 2, jadi ada satu punca berulang.”
Pada skala ini lengkung hanya turun 0.01 di bawah paksi, kurang daripada satu piksel.
Pembetulannya ialah mengira diskriminan: 16 − 4 × 3.99 = 16 − 15.96 = 0.04. Ia positif, jadi ada dua punca. Puncanya ialah x = (4 ± 0.2)/2, iaitu 1.9 dan 2.1.
Semakan: 1.9 + 2.1 = 4 dan 1.9 × 2.1 = 3.99. Mengezum sekitar x = 2 dengan Ymin = −0.05 dan Ymax = 0.05 akan mengesahkannya pada skrin.
Semak diri anda
1. Tetingkap piawai menunjukkan y = x² − 33x + 32 memotong paksi hanya pada x = 1. Cari punca yang satu lagi.
Tunjukkan jawapan
Hasil tambah punca = 33, jadi punca lain ialah 33 − 1 = 32. Hasil darab: 1 × 32 = 32 = c. Puncanya ialah 1 dan 32.
2. y = x² − 6x + 8.91 kelihatan menyentuh paksi berhampiran x = 3. Berapa banyak punca yang ada, dan apakah puncanya?
Tunjukkan jawapan
Diskriminan = 36 − 35.64 = 0.36, positif, jadi ada dua punca. x = (6 ± 0.6)/2, maka x = 2.7 dan x = 3.3. Semakan: 2.7 × 3.3 = 8.91 dan 2.7 + 3.3 = 6.
3. Seorang pelajar melebarkan tetingkap berulang kali tetapi tidak pernah menjumpai punca bagi y = x² + 1. Apakah yang patut dilakukannya?
Tunjukkan jawapan
Kira diskriminan: 0 − 4 = −4, negatif, jadi tiada punca nyata. Nilai minimum ialah 1 pada x = 0, jadi lengkung kekal di atas paksi-x dan tiada tetingkap yang boleh menunjukkan persilangan.
Ke mana selepas ini?
Setelah anda dapat membezakan punca tersembunyi daripada punca yang benar-benar tiada, bandingkan apa yang diberi skrin dengan penyelesaian tepat dalam penyelesaian graf dan penyelesaian tepat, kemudian berlatih dalam set latihan campuran. Kembali ke ringkasan modul jika anda mahu laluan penuh.
Jika anda sentiasa ragu tentang apa yang ditunjukkan graf, guru dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu boleh membina tabiat menguji sebelum mempercayai.