识别因窗口不佳而被隐藏的根

被隐藏的根，是指当前窗口没有显示出来的真实解。原因有两种：根落在窗口之外，或者两个根靠得太近，曲线看起来只是碰到坐标轴。本课建立在选择显示窗口之上。

窗口怎么会藏起一个根？

有两种方式。第一种是距离：根在屏幕的左、右、上或下方之外。第二种是比例：窗口太宽，相邻的两个根合成了一个点。

盯着图像看更久是没有用的。你要用不依赖屏幕的代数方法来检验。

两个快速的代数检验

对于根为 p 和 q 的 y = x² + bx + c：

• 根的和： p + q = −b。
• 根的积： p × q = c。
• 判别式： b² − 4c。为正数表示有两个根，为零表示一个重根，为负数表示没有实根。

如果屏幕只显示一个根 p，另一个根就是 q = −b − p，你可以用代入法验证。

例题

在标准窗口里，计算器显示 y = x² − 52x + 100 只在 x = 2 处穿过 x 轴。还有别的根吗？

第 1 步，根的和： b = −52，所以 p + q = 52。p = 2，得 q = 50。

第 2 步，积的验证： 2 × 50 = 100，等于 c。两个检验一致。

第 3 步，分解验证： x² − 52x + 100 = (x − 2)(x − 50)，所以根是 2 和 50。

第 4 步，在计算器上确认： 设 Xmin = −5，Xmax = 60，Ymin = −700，Ymax = 150。转折点是 (26, 676 − 1352 + 100) = (26, −576)，所以 Ymin = −700 足够。现在两个交点都看得到了。

要避免的错误

现在取 y = x² − 4x + 3.99，窗口为 −10 到 10。

错误的结论： “图像在 x = 2 处碰到 x 轴，所以有一个重根。”

在这个比例下，曲线只比坐标轴低 0.01，不到一个像素。

纠正的方法是算判别式：16 − 4 × 3.99 = 16 − 15.96 = 0.04。它是正数，所以有两个根。根是 x = (4 ± 0.2)/2，即 1.9 和 2.1。

验证：1.9 + 2.1 = 4，1.9 × 2.1 = 3.99。在 x = 2 附近放大，设 Ymin = −0.05、Ymax = 0.05，就能在屏幕上看到。

自我检测

1. 标准窗口显示 y = x² − 33x + 32 只在 x = 1 处穿过坐标轴。求另一个根。

2. y = x² − 6x + 8.91 看起来在 x = 3 附近碰到坐标轴。它有几个根？分别是多少？

3. 一个学生反复放大窗口，却始终找不到 y = x² + 1 的根。他应该怎么做？

接下来学什么？

当你能分辨“被隐藏的根”和“真的没有根”之后，就在图像解与精确解中，把屏幕给出的结果和精确推导对照，再到综合练习里练习。想看完整学习路线，请回到单元总览。

如果你总是怀疑图像显示的东西，一对一线上数学补习的老师可以帮你养成“先检验再相信”的习惯。