Anda boleh mendarab P(A) dan P(B) untuk mendapat P(A dan B) hanya apabila A dan B tak bersandar (independent): mengetahui satu berlaku tidak mengubah peluang yang lain. Jika peristiwa itu berkait, hasil darab memberi jawapan salah dan kebarangkalian kedua mesti diselaraskan.
Pelajaran ini terletak antara menggunakan gambar rajah pokok, di mana ketakbersandaran diandaikan, dan mengeluarkan item tanpa pengembalian, di mana ia gagal.
Apakah maksud tak bersandar sebenarnya?
Tak bersandar bermaksud kebarangkalian B sama sama ada A berlaku atau tidak. Melambung syiling kemudian menggolek dadu ialah tak bersandar: dadu tidak tahu keputusan syiling.
Peristiwa bersandar (dependent) saling berkait. Mengambil sekeping kad dan menyimpannya mengubah apa yang tinggal dalam set kad.
Hujan hari ini pula boleh menjadikan hujan esok lebih mungkin. Dalam kedua-dua kes, kebarangkalian kedua bergantung pada kesudahan pertama.
Bagaimana menguji ketakbersandaran dengan nombor?
Guna peraturan: A dan B tak bersandar tepat apabila P(A dan B) = P(A) × P(B).
- Cari P(A) dan P(B).
- Cari P(A dan B) daripada data.
- Darab P(A) × P(B).
- Bandingkan. Sama bermaksud tak bersandar. Tidak sama bermaksud bersandar.
Contoh berlangkah
Daripada 40 murid dalam sebuah kelas, 16 bermain bola sepak (F), 25 memakai cermin mata (G), dan 10 melakukan kedua-duanya. Seorang murid dipilih secara rawak. Adakah F dan G tak bersandar?
Langkah 1. P(F) = 16/40 = 2/5 = 0.4.
Langkah 2. P(G) = 25/40 = 5/8 = 0.625.
Langkah 3. P(F dan G) = 10/40 = 0.25.
Langkah 4, bandingkan. P(F) × P(G) = 0.4 × 0.625 = 0.25.
Langkah 5, rumuskan. Oleh kerana 0.4 × 0.625 = 0.25 = P(F dan G), peristiwa itu tak bersandar. Bermain bola sepak tidak mengubah peluang memakai cermin mata dalam kelas ini.
Semak. Antara 16 pemain bola sepak, 10 memakai cermin mata, iaitu 10/16 = 0.625. Ini sama dengan P(G), yang mengesahkan bahawa mengetahui seorang murid bermain bola sepak tidak mengubah kebarangkalian cermin mata.
Kesilapan yang perlu diawasi
Mendarab apabila peristiwa itu bersandar.
Kerja yang salah: P(hujan Isnin) = 0.4 dan P(hujan Selasa) = 0.4, jadi P(hujan kedua-dua hari) = 0.4 × 0.4 = 0.16.
Cuaca pada hari berturut-turut berkait, jadi ini mengandaikan ketakbersandaran tanpa semakan.
Pembetulan. Andaikan ramalan juga menyatakan bahawa jika hujan pada hari Isnin, P(hujan Selasa) = 0.7. Maka P(hujan kedua-dua hari) = 0.4 × 0.7 = 0.28. Faktor kedua mestilah kebarangkalian hujan Selasa diberi hujan Isnin, bukan angka keseluruhan.
Dalam peperiksaan, nyatakan sebab anda mendarab: “peristiwa itu tak bersandar” (diberi dalam soalan) atau tunjukkan ujiannya. Perkataan “tak bersandar” hanya mendapat markah kaedah apabila soalan menyokongnya.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 dan P(A dan B) = 0.2. Adakah A dan B tak bersandar?
Lihat jawapan
P(A) × P(B) = 0.5 × 0.4 = 0.2, yang sama dengan P(A dan B). Jadi ya, tak bersandar.
2. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 dan P(A dan B) = 0.4. Adakah A dan B tak bersandar?
Lihat jawapan
P(A) × P(B) = 0.6 × 0.5 = 0.3, tetapi P(A dan B) = 0.4. Nilainya berbeza, jadi peristiwa itu bersandar (dependent).
3. A dan B tak bersandar dengan P(A) = 0.3 dan P(B) = 0.5. Cari P(A dan B) dan P(A atau B).
Lihat jawapan
P(A dan B) = 0.3 × 0.5 = 0.15. P(A atau B) = P(A) + P(B) − P(A dan B) = 0.3 + 0.5 − 0.15 = 0.65. Penolakan diperlukan kerana A dan B boleh berlaku bersama.
Langkah seterusnya
Ketakbersandaran membolehkan kebarangkalian cabang kekal sama dari satu peringkat ke peringkat berikutnya. Apabila ia gagal, nombor mesti berubah, iaitu topik mengemas kini kebarangkalian apabila item tidak dipulangkan. Latihan pengiraan tanpa kalkulator menyemak aritmetik pecahan, dan penjelajah asas peratusan menunjukkan mengapa peratusan bagi asas yang berubah memberi jawapan berbeza.
Pelajar yang mendarab dengan betul tetapi meninggalkan penaakulan sering kehilangan markah penjelasan. Tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu boleh melatih justifikasi bertulis seperti itu.