Gambar rajah pokok dua peringkat menunjukkan setiap kesudahan bagi dua peristiwa mengikut turutan. Darab sepanjang setiap laluan, kemudian tambah laluan yang memberi kesudahan yang anda mahu. Beginilah soalan IGCSE tentang percubaan berulang, dua cabutan dan cuaca dua hari disusun.
Ia dibina terus daripada menyenaraikan kesudahan saling eksklusif, kerana setiap set cabang mesti meliputi setiap kesudahan peringkat itu tepat sekali.
Bagaimana pokok dibina?
- Peringkat 1. Lukis satu cabang bagi setiap kesudahan peristiwa pertama dan labelkan dengan kebarangkaliannya.
- Peringkat 2. Dari hujung setiap cabang peringkat 1, lukis set cabang penuh bagi peristiwa kedua.
- Semak setiap pecahan. Cabang yang keluar dari satu titik mesti berjumlah 1.
- Tulis kebarangkalian laluan di hujung, yang diperoleh dengan mendarab sepanjang laluan.
- Pilih laluan yang diperlukan, tambah kebarangkalian mereka, dan semak bahawa semua kebarangkalian hujung berjumlah 1.
Contoh berlangkah
Adam menaiki bas sekolah pada dua pagi berturut-turut. Setiap pagi bas tiba tepat masa dengan kebarangkalian 0.8 dan lewat dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar (independent) daripada pagi yang lain.
Cari (a) P(tepat masa kedua-dua pagi), (b) P(tepat satu lewat), (c) P(sekurang-kurangnya satu lewat).
Langkah 1, lukis pokok. Pagi pertama: T (0.8) atau L (0.2). Dari setiap satu, pagi kedua: T (0.8) atau L (0.2).
| Laluan | Kerja | Kebarangkalian |
|---|---|---|
| T kemudian T | 0.8 × 0.8 | 0.64 |
| T kemudian L | 0.8 × 0.2 | 0.16 |
| L kemudian T | 0.2 × 0.8 | 0.16 |
| L kemudian L | 0.2 × 0.2 | 0.04 |
Langkah 2, semak jumlah. 0.64 + 0.16 + 0.16 + 0.04 = 1.00, jadi pokok itu konsisten.
Langkah 3, (a). P(tepat masa kedua-dua pagi) = 0.64.
Langkah 4, (b). “Tepat satu lewat” ialah T kemudian L atau L kemudian T. Tambah: 0.16 + 0.16 = 0.32.
Langkah 5, (c). “Sekurang-kurangnya satu lewat” ialah semuanya kecuali T kemudian T. P = 1 − 0.64 = 0.36.
Semak (c) dengan cara kedua. Tambah tiga laluan yang mengandungi bas lewat: 0.16 + 0.16 + 0.04 = 0.36. Kedua-dua cara sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kebarangkalian ditambah sepanjang laluan, bukannya didarab.
Kerja yang salah: P(tepat masa, kemudian lewat) = 0.8 + 0.2 = 1.
Kebarangkalian 1 bermaksud pasti, yang tidak mungkin betul apabila bas lewat adalah mungkin.
Pembetulan. “Tepat masa pagi pertama dan lewat pagi kedua” memerlukan kedua-duanya berlaku, jadi darab: 0.8 × 0.2 = 0.16.
Kesilapan songsang ialah mendarab antara laluan. Bagi “tepat satu lewat”, mendarab 0.16 × 0.16 memberi 0.0256, yang terlalu kecil. Alternatif ditambah, langkah didarab.
Semakan kewajaran yang berguna: jawapan “dan” sepatutnya lebih kecil daripada setiap kebarangkalian individu, dan jawapan “atau” sepatutnya lebih besar daripada setiap laluan yang dimasukkan.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Sekeping syiling berat sebelah mempunyai P(kepala) = 0.6 dan P(ekor) = 0.4. Ia dilambung dua kali. Cari P(dua kepala) dan P(satu kepala dan satu ekor).
Lihat jawapan
Dua kepala: 0.6 × 0.6 = 0.36. KE: 0.6 × 0.4 = 0.24 dan EK: 0.4 × 0.6 = 0.24, jadi satu setiap satu ialah 0.24 + 0.24 = 0.48. Semak dengan EE = 0.16: 0.36 + 0.48 + 0.16 = 1.
2. Sebuah beg mengandungi 2 kiub merah dan 3 kiub biru. Satu kiub diambil, warnanya dicatat dan ia dipulangkan. Kemudian kiub kedua diambil. Cari P(kedua-duanya warna sama).
Lihat jawapan
Kerana dipulangkan, setiap cabutan mempunyai P(merah) = 2/5 dan P(biru) = 3/5. Kedua-dua merah: 2/5 × 2/5 = 4/25. Kedua-dua biru: 3/5 × 3/5 = 9/25. Tambah: 4/25 + 9/25 = 13/25.
3. Kebarangkalian lulus sesuatu ujian ialah 0.7. Dua ujian berasingan diambil secara tak bersandar. Cari P(lulus sekurang-kurangnya satu).
Lihat jawapan
Lawannya ialah gagal kedua-duanya: 0.3 × 0.3 = 0.09. Maka P(lulus sekurang-kurangnya satu) = 1 − 0.09 = 0.91. Semak melalui laluan: LL 0.49 + LG 0.21 + GL 0.21 = 0.91.
Langkah seterusnya
Kebarangkalian cabang di atas kekal sama pada peringkat 2 kerana peristiwanya tak bersandar. Seterusnya, lihat bila pendaraban memerlukan ketakbersandaran dan kemudian bagaimana peringkat kedua berubah apabila tiada apa dipulangkan. Papan pokok kebarangkalian dan pengiraan membolehkan anda membina pokok dan melihat jumlahnya, dan latihan pengiraan tanpa kalkulator membantu dengan pecahan.
Jika gambar rajah pokok jelas apabila anda melihat satu dilukis tetapi kosong apabila berdepan konteks yang asing, itu soalan yang baik untuk dibawa ke tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu.