Set ini mempunyai sebelas soalan asli, disusun daripada yang lebih mudah kepada yang lebih sukar, merangkumi kelima-lima pelajaran dalam penaakulan kebarangkalian. Soalan 1 hingga 3 ialah pemanasan tentang kesudahan, 4 hingga 8 memerlukan kaedah penuh, dan 9 hingga 11 mencampurkan kemahiran serta meminta semakan cara kedua.
Berikan pecahan dalam bentuk termudah dan perpuluhan dengan tepat. Lukis pokok bagi setiap soalan yang mempunyai dua peringkat, dan akhiri setiap jawapan dengan semakan jumlah. Papan pokok kebarangkalian dan pengiraan serta latihan pengiraan tanpa kalkulator ialah teman yang berguna, dan log kesilapan dan baris gilir ujian semula ialah tempat untuk mencatat apa yang tidak kena.
Soalan
1. Sepuluh keping kad bernombor 1 hingga 10. Satu dipilih secara rawak. Cari P(gandaan 4 atau nombor perdana).
Lihat jawapan
Gandaan 4: {4, 8}. Perdana: {2, 3, 5, 7}. Tiada nombor dalam kedua-dua senarai, jadi peristiwa itu saling eksklusif. Enam kad sepadan, maka P = 6/10 = 3/5.
2. Sebuah beg mengandungi kiub merah, biru, hijau dan kuning. P(merah) = 0.15, P(biru) = 0.4 dan P(hijau) = 0.25. Cari P(kuning) dan P(bukan biru).
Lihat jawapan
Jumlah diketahui: 0.15 + 0.4 + 0.25 = 0.8, jadi P(kuning) = 1 − 0.8 = 0.2. P(bukan biru) = 1 − 0.4 = 0.6. Semak: 0.15 + 0.25 + 0.2 = 0.6.
3. Sebiji dadu adil digolek. Cari P(nombor genap atau faktor bagi 12).
Lihat jawapan
Genap: {2, 4, 6}. Faktor 12 pada dadu: {1, 2, 3, 4, 6}. Kedua-dua set bertindih, jadi senaraikan kesudahan berbeza: {1, 2, 3, 4, 6}. Itu 5 kesudahan, maka P = 5/6. Menambah 3/6 + 5/6 akan memberi lebih daripada 1, yang mustahil.
4. Seorang pemain bola sepak menjaringkan sepakan penalti dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar setiap kali. Dia mengambil dua penalti. Cari P(kedua-duanya masuk), P(tepat satu masuk) dan P(sekurang-kurangnya satu masuk).
Lihat jawapan
Kedua-duanya: 0.7 × 0.7 = 0.49. Satu masuk: 0.7 × 0.3 + 0.3 × 0.7 = 0.21 + 0.21 = 0.42. Tiada: 0.3 × 0.3 = 0.09, jadi sekurang-kurangnya satu = 1 − 0.09 = 0.91. Semak: 0.49 + 0.42 + 0.09 = 1.
5. Daripada 60 murid, 36 berbasikal ke sekolah (C), 25 memakai cermin mata (G), dan 18 melakukan kedua-duanya. Adakah C dan G tak bersandar? Tunjukkan kerja anda.
Lihat jawapan
P(C) = 36/60 = 3/5 dan P(G) = 25/60 = 5/12. Hasil darab: 3/5 × 5/12 = 15/60 = 1/4 = 0.25. P(C dan G) = 18/60 = 3/10 = 0.3. Oleh kerana 0.25 ≠ 0.3, peristiwa itu bersandar.
6. Sebuah kotak mengandungi 4 pen biru dan 2 pen hitam. Dua diambil tanpa pengembalian. Cari P(kedua-duanya biru) dan P(satu setiap warna).
Lihat jawapan
Kedua-duanya biru: 4/6 × 3/5 = 12/30 = 2/5. Kedua-duanya hitam: 2/6 × 1/5 = 2/30 = 1/15. Satu setiap warna = 1 − 2/5 − 1/15 = 15/15 − 6/15 − 1/15 = 8/15. Cara kedua: 4/6 × 2/5 + 2/6 × 4/5 = 8/30 + 8/30 = 16/30 = 8/15.
7. Sebuah model kesudahan mempunyai empat kesudahan dengan kebarangkalian x, 2x, 0.1 dan 0.3. Cari x dan kebarangkalian kesudahan 2x.
Lihat jawapan
x + 2x + 0.1 + 0.3 = 1, jadi 3x + 0.4 = 1 dan 3x = 0.6, memberi x = 0.2. Kesudahan 2x berkebarangkalian 0.4. Semak: 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.3 = 1.0.
8. Sebuah pemutar jatuh pada biru dengan kebarangkalian 2/5. Seorang murid menulis P(biru, kemudian biru) = 2/5 + 2/5 = 4/5. Terangkan kesilapan itu dan cari nilai yang betul.
Lihat jawapan
“Biru kemudian biru” memerlukan kedua-dua putaran biru, jadi kebarangkalian didarab, bukan ditambah. Selain itu, 4/5 lebih besar daripada setiap kebarangkalian tunggal, yang menandakan ralat. Nilai betul: 2/5 × 2/5 = 4/25 (= 0.16), dengan andaian putaran tak bersandar.
9. Sebuah beg mengandungi 3 gula-gula merah, 4 hijau dan 3 kuning. Dua diambil tanpa pengembalian. Cari P(kedua-duanya warna sama) dan P(sekurang-kurangnya satu hijau).
Lihat jawapan
Warna sama: MM = 3/10 × 2/9 = 6/90, HH = 4/10 × 3/9 = 12/90, KK = 3/10 × 2/9 = 6/90. Jumlah 24/90 = 4/15. Sekurang-kurangnya satu hijau = 1 − P(tiada hijau). Tiada hijau: 6/10 × 5/9 = 30/90. Maka 1 − 30/90 = 60/90 = 2/3. Semak terus: hijau dahulu 36/90 tambah bukan hijau kemudian hijau 24/90 = 60/90.
10. Kebarangkalian hujan hari ini ialah 0.3. Jika hujan hari ini, kebarangkalian hujan esok ialah 0.6. Jika tidak hujan hari ini, kebarangkalian hujan esok ialah 0.2. Cari P(hujan kedua-dua hari) dan P(hujan esok).
Lihat jawapan
Hujan kedua-dua hari: 0.3 × 0.6 = 0.18. Hujan esok boleh berlaku dalam dua cara: hujan hari ini kemudian hujan (0.18) atau tiada hujan hari ini kemudian hujan (0.7 × 0.2 = 0.14). Tambah: 0.18 + 0.14 = 0.32. Semak: P(tiada hujan esok) = 0.3 × 0.4 + 0.7 × 0.8 = 0.12 + 0.56 = 0.68, dan 0.32 + 0.68 = 1. Peristiwa itu bersandar, jadi peringkat kedua menggunakan nilai cabang yang berbeza.
11. Seorang pemanah mengenai sasaran dengan kebarangkalian 0.6 pada setiap panahan yang tak bersandar. Dia melepaskan tiga panah. Cari P(sekurang-kurangnya satu kena) dan P(tepat satu kena).
Lihat jawapan
Tiada kena: 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064, jadi sekurang-kurangnya satu kena = 1 − 0.064 = 0.936. Tepat satu kena boleh berlaku dalam 3 cara (panah pertama, kedua atau ketiga): setiap satu berkebarangkalian 0.6 × 0.4 × 0.4 = 0.096. Tambah: 3 × 0.096 = 0.288. Semak dengan selebihnya: dua kena 3 × 0.6 × 0.6 × 0.4 = 0.432 dan tiga kena 0.216. Maka 0.064 + 0.288 + 0.432 + 0.216 = 1.000.
Jika anda tersilap
| Apa yang tidak kena | Ke mana perlu kembali |
|---|---|
| Menambah kebarangkalian yang bertindih, atau terlepas kesudahan (1 hingga 3) | Mewakilkan kesudahan saling eksklusif |
| Menambah sepanjang cabang, atau mendarab antara alternatif (4, 8, 11) | Menggunakan pokok kebarangkalian dua peringkat |
| Mendarab tanpa menyemak ketakbersandaran, atau tidak dapat menjustifikasikannya (5, 10) | Menjelaskan bila pendaraban memerlukan ketakbersandaran |
| Mengekalkan pecahan yang sama pada cabutan kedua (6, 9) | Mengemas kini kebarangkalian apabila item tidak dipulangkan |
| Jawapan tidak berjumlah 1, atau nilai yang hilang salah (2, 7) | Menyemak bahawa model kesudahan berjumlah satu |
Baiki pelajaran dahulu, kemudian cuba semula soalan baharu daripada jenis yang sama beberapa hari kemudian. Catat jenis ralat dalam log kesilapan dan baris gilir ujian semula supaya pengulangan itu disengajakan.
Jika ralat kembali walaupun anda telah membaca pelajaran, tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu membolehkan seorang guru membaca kerja bertulis anda dan mencari langkah yang sering tergelincir.