一张图可以点位正确、曲线整齐，却依然被扣分。通常的原因是某条轴的刻度不均匀或选得不好，使图形不再代表那些数字。
解决办法是在画任何点之前先做一套简短的流程。它花不到一分钟，却能保护你画的每一张图。
“刻度错了”到底指什么？
共有四种不同的问题，大多数学生只有其中一种。
- 间距不均匀。 轴上的数字不是等距排列，例如只在画出的数值处标注。
- 浪费方格。 刻度太小，图被挤在一个角落。
- 超出纸面。 刻度太大，点放不下。
- 步长别扭。 每格 3 或 7 个单位，读数和描点都慢又容易错。
选刻度的流程，一步一步来
- 找出范围。 记下需要的 x 和 y 的最小值与最大值。
- 数出每条轴上可用的大格数。
- 用范围除以格数，粗略得出每格代表多少。
- 向上取一个好读的步长： 1、2、5、10、20、50 等。
- 等间距标注，每 2 或 5 个大格标一次，而不是标在数据值的位置。
- 检查： 图在每个方向上是否占了方格一半以上，标注是否等距？
二次函数结构探索工具让你看到不同选择下曲线的样子，图像模型探索工具则展示点与拟合直线的关系。
例题
画出 y = x²，x 从 0 到 6。方格横向有 12 个大格，纵向有 18 个大格。
第 1 步，数值表：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
第 2 步，范围： x 从 0 到 6，y 从 0 到 36。
第 3 步，每格单位： 横向 6 个单位分在 12 大格，即每 2 个大格代表 1 个单位。纵向 36 个单位分在 18 大格，即每大格代表 2 个单位。
第 4 步，标注： x 轴标 0、1、2、3、4、5、6，每个数字之间隔两个大格。y 轴标 0、2、4、6，依此类推到 36。
第 5 步，描点并画线： 点 (5, 25) 在 x = 5 的正上方，位于 24 和 26 两条线的正中间。用一条平滑的曲线穿过全部七个点。
检查： 曲线占满方格，两条轴都等距，(6, 36) 落在右上角。
要避免的错误
学生的做法： 只在画出的数值处标注 y 轴：0、1、4、9、16、25、36，并把它们以相等的间隔排在轴上。
为什么看起来对： 点连成一条整齐的曲线，因为每个点都落在正确的”标签位置”。
为什么是错的： 1 到 4 的间隔和 25 到 36 的间隔一样长，但两者的数值差分别是 3 和 11。这条轴已经不再衡量任何东西。
纠正的方法是按规则的数值步长标注（0、2、4、6 等），并按数值来定位每个点，而不是靠近哪个标签就放哪里。
自我检测
1. 一位学生在纵向有 16 个大格的方格上画 y = 3x + 1，x 从 0 到 10。需要的 y 范围是多少？什么刻度合适？
显示答案
x = 10 时 y = 31，所以 y 的范围是 1 到 31。用 0 到 32 分在 16 个大格，得到每大格 2 个单位，步长好读，刚好放得下。
2. 为什么在 0、1、4、9、16 处等距标注坐标轴是错的？
显示答案
纸上相等的间隔必须代表相等的数值差。这里的差是 1、3、5、7，所以这条轴扭曲了图像。
3. 判断对错：两条轴必须始终使用相同的刻度。
显示答案
错。只有在真实形状重要时才需要相同刻度，例如圆或垂直线。每条轴本身必须是等间距的。
接下来学什么
在用合适的刻度描点中练习核心技能，再用斜率与截距的实际意义从图中读出含义。上级课题是图像与变换。
老师看着你选刻度，就能找出坐标轴在哪一步出错。这正是线上一对一数学补习会关注的地方之一。