二次函数结构探索器接受 y = ax² + bx + c 的系数，并把互相关联的内容放在一起：判别式（discriminant）、根、转折点，以及同一个表达式的三种相关形式。下方还有图像和数值表。
建议先自己动手做一遍题目，再用它核对，并观察这些形式之间的联系。
怎么使用？
- 输入 a，即 x² 的系数。只有 a 不等于 0 时，工具才把它当作二次函数。
- 输入 b（x 的系数）和 c（常数项）。
- 设定图像范围：图像范围 x 从和到 x =。左边的值必须小于右边的值。
- 按探索。
- 按重置回到示例 y = x² − 5x + 6。
可以输入负数，用负号即可，例如 −5。
怎么看结果？
第一行给出判别式 b² − 4ac 以及它的正负代表什么。接着是根（标明精确或近似），以及转折点，并说明它是最小值还是最大值。a 为正时是最小值，a 为负时是最大值。
在相互关联的形式下，你会看到一般式、因式分解式和配方式。请把它们放在一起读：因式显示根，配方式显示转折点。
当根和转折点落在你的范围内时，图像会标出它们。如果某个点没出现，就把范围放宽。数值表以文字形式提供同样的信息。
示例演示
示例是 y = x² − 5x + 6。判别式是 25 − 24 = 1，为正，所以有两个实数根。
- 根：2 和 3。
- 转折点：(5/2, −1/4)，是最小值。
- 一般式：x² − 5x + 6。
- 因式分解式：(x − 2)(x − 3)。
- 配方式：(x − 5/2)² − 1/4。
注意 2 和 3 的中点是 5/2，正好是转折点的 x 坐标，这不是巧合。
再试 a = 1、b = 2、c = 5。判别式是 4 − 20 = −16，没有实数根，工具提示因式分解式不存在。配方式是 (x + 1)² + 4，所以最低点是 (−1, 4)，在 x 轴上方。
对于 x² − 2x − 1，判别式是 8，根是 1 ± √2。工具同时显示精确形式和近似值，约为 −0.4142 和 2.4142。
有哪些假设和限制？
- 只求实数根。判别式为负就是没有实数根。
- 当 a = 0 时，工具按直线处理，而不是二次函数。
- 精确答案用分数或根式表示。近似答案标上 ≈，此时因式分解式使用近似的根。
- 图像只画你所选的范围，范围之外的根或转折点不会出现。
- 工具按你输入的数字计算，无法判断你是否抄对了题目。
哪些课程解释了背后的道理？
- 整数因子的二次式因式分解是学习因式分解式的起点。
- 配方时不丢掉系数一步步建立配方式。
- 用判别式判断交点情况解释第一行出现的三种情形。
- 由根求出二次式从根倒推出表达式。
- 把转折点与最小值联系起来连接顶点与最高或最低的值。
更大的主题是二次函数结构与判别式。老师也能帮你在考试条件下选择合适的形式，例如在线上一对一附加数学补习中。其他工具见学习工具目录。