怎样判断该用代数，而不是直接代入？

先看题目问的是什么。如果目标是对称式，例如 a² + b² 或 x² + 1/x²，而已知的是和或积，用一条恒等式就能直接得到。如果目标就是未知数本身，那就去解它。

先求出 x 的值是错的吗？

不算错，但可能很长，还会产生根式，之后又要再平方。代数能更快得到同样的答案，出错的地方也更少。把较长的方法留作检验，而不是第一步。

(a + b)² = a² + 2ab + b² 与 (a − b)² = a² − 2ab + b²，变形后可求 a² + b²。另外还有 a² − b² = (a − b)(a + b)，能把 101² − 99² 这样的算术变成一行。

先用代数，指的是利用各量之间的关系，而不是把每个值分别求出来。当题目给出和、积或倒数，并要求平方或某种组合时，就会用到它，这是进阶免计算器推理的主要技能之一。

当所求表达式对未知数是对称的，就有更短的路。像 a² + b²、(a − b)² 和 x² + 1/x² 这样的式子，都可以用 a + b 与 ab，或者用 x + 1/x 来表示。

核心恒等式是 (a + b)² = a² + 2ab + b²。变形得 a² + b² = (a + b)² − 2ab。

对于互为倒数的一对，把 b 看作 1/x。此时 ab = 1，所以 x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2。

已知 x + 1/x = 5，求 x² + 1/x² 的值。

第 1 步，选择结构： 目标是每一项的平方，已知的是它们的和。

第 2 步，把已知式平方： (x + 1/x)² = x² + 2 × x × (1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x²。

第 3 步，代入数值： 5² = x² + 2 + 1/x²，所以 25 = x² + 2 + 1/x²。

第 4 步，移项： x² + 1/x² = 25 − 2 = 23。

用长的方法检验： x + 1/x = 5 即 x² − 5x + 1 = 0，所以 x = (5 + √21)/2 ≈ 4.791。于是 x² ≈ 22.956，1/x² ≈ 0.044，相加得 23.000（保留三位小数）。两种方法一致。

请注意，长的方法需要一个二次方程、一个根式和两次平方，而代数只用了四行，没有根式。

常见的失误是平方时漏掉中间项。

错误写法： (x + 1/x)² = x² + 1/x²，所以 x² + 1/x² = 25

学生把每一项各自平方，忘了交叉项 2 × x × (1/x) = 2。

纠正方法是每次都把完整的平方写出来，并注意这里交叉项等于 2，因为 x × (1/x) = 1。然后把它减去。

先不用计算器做，再打开答案。

1. 已知 a + b = 7，ab = 10，求 a² + b²。

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a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29。检验：a = 5，b = 2，得 25 + 4 = 29。

2. 已知 x − 1/x = 3，求 x² + 1/x²。

显示答案

(x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x² = 9，所以 x² + 1/x² = 9 + 2 = 11。这次中间项是负的，所以要加 2。

3. 不用计算器，求 101² − 99²。

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平方差：(101 − 99)(101 + 99) = 2 × 200 = 400。检验：10 201 − 9 801 = 400。

接着练习识别结构，化简冗长的表达式。二次式结构探索器展示了根的和与积如何与系数相连，这是同一个想法的另一种形式。免计算器演算训练器提供更多精确运算练习。

有些学生懂这条恒等式，却想不到在题目看起来陌生时使用它。“这道题到底在考什么？”这个习惯，正是老师在一对一线上附加数学补习中培养的。