这些题目训练进阶免计算器推理中的五项技能：精确值、选择代数、结构、证明与检验。题目由易到难，全部为原创。
请不用计算器，动笔前先写下你看出的结构，完整作答之后才打开答案。事后可以用免计算器演算训练器对精确运算给出第二意见。
建议分两次完成：第一次做 Q1 至 Q7，隔一天再做 Q8 至 Q11。每做完一题，都用一句话写下你用了哪种结构，例如“平方差”或“和与倒数”。这句话比答案本身更能显示你是否真的学会了选择方法。
题目
Q1. 求 sin² 45° + cos² 60° 的精确值。
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sin 45° = √2/2，所以 sin² 45° = 2/4 = 1/2。cos 60° = 1/2，所以 cos² 60° = 1/4。
相加：1/2 + 1/4 = 3/4。
Q2. 把 4/(√7 − √3) 的分母有理化。
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分子分母同乘 √7 + √3。分母是 7 − 3 = 4，分子是 4(√7 + √3)。
所以结果是 4(√7 + √3)/4 = √7 + √3。
检验：4/(2.646 − 1.732) = 4/0.914 ≈ 4.38，而 √7 + √3 ≈ 4.38。
Q3. 把 (1 + √3)/(2 − √3) 写成 a + b√3 的形式。
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分子分母同乘 2 + √3。分母是 4 − 3 = 1。
分子是 (1 + √3)(2 + √3) = 2 + √3 + 2√3 + 3 = 5 + 3√3。
所以答案是 5 + 3√3。检验：2.732/0.268 ≈ 10.2，而 5 + 5.196 = 10.196。
Q4. 已知 a + b = 6，ab = 4，求 (a) a² + b²，(b) (a − b)²。
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(a) a² + b² = (a + b)² − 2ab = 36 − 8 = 28。
(b) (a − b)² = a² + b² − 2ab = 28 − 8 = 20。
检验：和为 6、积为 4 的两个数是 3 ± √5。于是 a² + b² = 2(9 + 5) = 28，a − b = 2√5，所以 (a − b)² = 20。
Q5. 已知 x + 1/x = 6，求 (a) x² + 1/x²，(b) x³ + 1/x³。
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(a) 把已知式平方：x² + 2 + 1/x² = 36，所以 x² + 1/x² = 34。
(b) 把已知式立方：(x + 1/x)³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³ = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x)。所以 216 = x³ + 1/x³ + 18，x³ + 1/x³ = 198。
检验：x = 3 + 2√2 时 1/x = 3 − 2√2。于是 x² = 17 + 12√2，1/x² = 17 − 12√2，和为 34。又 x³ = 99 + 70√2，1/x³ = 99 − 70√2，和为 198。
Q6. 化简 (x² − 25)/(x² + 2x − 15)。
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x² − 25 = (x − 5)(x + 5)，x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3)。
约去 (x + 5)：(x − 5)/(x − 3)，其中 x ≠ −5 且 x ≠ 3。
检验 x = 6：原式是 11/33 = 1/3，答案也是 1/3。
Q7. 化简 (4ⁿ⁺¹ − 4ⁿ)/(3 × 4ⁿ⁻¹)。
显示答案
分子：4ⁿ⁺¹ − 4ⁿ = 4ⁿ(4 − 1) = 3 × 4ⁿ。分母：3 × 4ⁿ⁻¹。
相除：4ⁿ/4ⁿ⁻¹ = 4，所以答案是 4。
检验 n = 1：(16 − 4)/3 = 4。检验 n = 2：(64 − 16)/12 = 4。
Q8. 证明：两个连续偶数的乘积是 8 的倍数。
显示答案
设这两个数为 2n 和 2n + 2，n 为整数。乘积为 2n(2n + 2) = 4n² + 4n = 4n(n + 1)。
n 和 n + 1 是连续整数，所以其中一个是偶数，n(n + 1) = 2k，k 为某个整数。
所以乘积是 4 × 2k = 8k，是 8 的倍数。
检验：2 × 4 = 8，4 × 6 = 24，6 × 8 = 48。
Q9. 解 √(2x + 3) = x，并检验每个答案。
显示答案
两边平方：2x + 3 = x²，所以 x² − 2x − 3 = 0，(x − 3)(x + 1) = 0。
测试 x = 3：√9 = 3。✓
测试 x = −1：√1 = 1，但右边是 −1。✗
所以 x = 3 是唯一的解。平方这一步产生了多余的答案。
Q10. 证明 √(11 + 6√2) = 3 + √2。
显示答案
把右边平方：(3 + √2)² = 9 + 6√2 + 2 = 11 + 6√2。
因为 3 + √2 是正数，它就是 11 + 6√2 的正平方根，所以该命题成立。
检验：11 + 8.485 = 19.485，其平方根是 4.414。又 3 + 1.414 = 4.414。
Q11. 已知 x = √5 + 2，求 (a) x + 1/x，(b) x² + 1/x² 的精确值。
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(a) 1/x = 1/(√5 + 2)。分子分母同乘 √5 − 2。分母是 5 − 4 = 1，所以 1/x = √5 − 2。
于是 x + 1/x = (√5 + 2) + (√5 − 2) = 2√5。
(b) x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (2√5)² − 2 = 20 − 2 = 18。
检验：x² = 9 + 4√5，1/x² = 9 − 4√5，和为 18。
如果你做错了
- Q1 至 Q3： 精确值、有理化的步骤或漏掉的交叉项。请复习精确的根式与三角函数值。
- Q4 和 Q5： 恒等式里漏了中间项。请复习先用代数，再做数值代入。
- Q6 和 Q7： 跨越加号约分，或没看出公共幂次。请复习识别结构化简表达式。
- Q8： 证明里缺了理由。请复习解释证明步骤。
- Q9 和 Q10： 没有独立检验，或接受了多余的根。请复习用第二种方法检验。
- Q11： 有理化与结构的混合。请一起复习L01和L02。
把每个失误记在错题记录里，并用二次式结构探索器测试二次式的想法。如果某一类题反复出错，附加数学补习可以一对一地和你把那一类题过一遍。