等差数列前 n 项的和是 Sn = n/2 (2a + (n − 1)d)，也可以写成 n/2 (a + l)，其中 l 是末项。公式本身不难，失分通常是因为项数 n 数错。
公式是怎么来的？
把和正着写一遍、倒着写一遍。每一对（第一项配末项，第二项配倒数第二项）的和都是 a + l。两行合起来共有 n 对，所以 2S = n(a + l)。
因此，和等于项数乘以首项与末项的平均值。这也是一个快速估算：4 与 100 的平均是 52，所以 33 项的和大约是 33 × 52。
求和的步骤是什么？
- 确定 a 和 d：从最前面几项看，公差是任意一项减去它前一项。
- 求 n：若题目给出末项，就用通项公式解出 n。结果必须是整数。
- 选公式：知道 d 用 n/2 (2a + (n − 1)d)，知道末项用 n/2 (a + l)。
- 计算，再用另一种形式检查。
例题详解
求 4 + 7 + 10 + … + 100 的和。
第一步，确定： a = 4，d = 7 − 4 = 3。
第二步，求 n： 4 + 3(n − 1) = 100，所以 3(n − 1) = 96，n − 1 = 32，n = 33。
第三步，求和： S = 33/2 × (4 + 100) = 33/2 × 104 = 33 × 52 = 1716。
第四步，用另一种形式检查： 33/2 × (2(4) + 32(3)) = 33/2 × 104，结果相同，1716。
答案是 1716。
要留意的错误
常见的失误是数出”间隔数”，却把它当成项数。
错误做法： n = (100 − 4) ÷ 3 = 32，所以 S = 32/2 × (4 + 100) = 16 × 104 = 1664。
96 ÷ 3 数的是各项之间的间隔。项数比间隔多一个，就像栅栏的柱子比栅栏板多一根。
改正的方法是加一：n = 33，S = 1716。一个好习惯是用短的例子验证。对 4, 7, 10，末项是 10，间隔数是 (10 − 4) ÷ 3 = 2，而项数是 3。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 求首项 a = 2、公差 d = 3 的等差数列前 15 项的和。
查看答案
S = 15/2 × (2(2) + 14(3)) = 15/2 × 46 = 15 × 23 = 345。
检查：末项 = 2 + 42 = 44，15/2 × (2 + 44) = 15/2 × 46 = 345。
2. 求 50 + 46 + 42 + … + 10 的和。
查看答案
a = 50，d = −4。解 50 − 4(n − 1) = 10，得 n − 1 = 10，n = 11。
S = 11/2 × (50 + 10) = 11/2 × 60 = 330。检查：平均项是 30，共 11 项，所以 11 × 30 = 330。
3. 求从 3 到 99 的所有 3 的倍数之和。
查看答案
a = 3，d = 3，末项 99。由 3n = 99 得 n = 33。
S = 33/2 × (3 + 99) = 33/2 × 102 = 33 × 51 = 1683。检查：3 × (1 + 2 + … + 33) = 3 × 561 = 1683。
下一步
接下来用比值代替差值，学习由各项求公比。两种思路会在后面的项与和的综合题中汇合。数列与级数实验室能显示你所选 a、d、n 的各项和累计总和。
如果你的总和大多正确，只是偶尔差一项，这值得花几分钟做个别指导。我们的老师在附加数学线上一对一补习中会这样做。