二维向量证明：综合练习与解析

终点减起点：→AB = →OB − →OA = (a + 2b) − 3a = a − 3a + 2b。

→AB = −2a + 2b

→OB = →OA + →AB = 2p + 3q（因为 →AB = →OC）。 →AC = −→OA + →OC = −2p + 3q。 →BC = −→OA = −2p（平行四边形的对边）。

→OB = 2p + 3q，→AC = 3q − 2p，→BC = −2p

→AB = b − a。→OM = a + ½(b − a) = ½a + ½b。 →BM = −½→AB = −½(b − a) = ½a − ½b。

→OM = ½a + ½b，→BM = ½a − ½b

→QP = →OP − →OQ = (2a − b) − (a + 3b) = a − 4b。 它的一半是 ½a − 2b。

→QP = a − 4b，一半是 ½a − 2b

共 5 份，所以 →AP = 1/5(b − a)。 →OP = a + 1/5b − 1/5a = 4/5a + 1/5b。

→OP = 4/5 a + 1/5 b。检查：系数之和为 1，而且 P 靠近 A，所以 a 占比更大。

→AB = (8 − (−2), −7 − 3) = (10, −10)。→AP = 2/5 × (10, −10) = (4, −4)。 →OP = (−2, 3) + (4, −4) = (2, −1)。

P = (2, −1)。用 3/5a + 2/5b 检查：x = −6/5 + 16/5 = 2，y = 9/5 − 14/5 = −1。

→OP = a + k(b − a) 中 b 的系数是 k，所以 k = 2/3，即 →AP = 2/3 →AB。 AP 占 2 份，PB 占 1 份。

AP : PB = 2 : 1。检查：P 靠近 B，含有更多的 b，与预期相符。

→AB = (3a + b) − (a + 2b) = 2a − b。 →AC = (7a − b) − (a + 2b) = 6a − 3b = 3(2a − b) = 3→AB。 它们平行且共用点 A，所以 A、B、C 共线。 →BC = →AC − →AB = 2→AB。

共线，AB : BC = 1 : 2

→PR 必须是 →PQ 的倍数。a 的系数乘以 3（2 变 6），所以 →PR = 3→PQ = 6a − 9b。

k = −9

AM：→OX = a + λ(½b − a) = (1 − λ)a + (λ/2)b。 BN：→OX = b + μ(2/3a − b) = (2μ/3)a + (1 − μ)b。

令系数相等：a： 1 − λ = 2μ/3。b： λ/2 = 1 − μ，所以 λ = 2 − 2μ。 于是 1 − 2 + 2μ = 2μ/3，所以 4μ/3 = 1，μ = 3/4，λ = 1/2。

→OX = ½a + ¼b。用 BN 中的 μ = 3/4 检验：(2 × 3/4 ÷ 3)a + (1/4)b = ½a + ¼b。

x：2λ = 10 − 2μ。y：1 + λ = −2 + μ，所以 μ = 3 + λ。 代入：2λ = 10 − 6 − 2λ，所以 4λ = 4，λ = 1，μ = 4。 直线 1 在 λ = 1 时：(2, 2)。直线 2 在 μ = 4 时：(10 − 8, −2 + 4) = (2, 2)。

(2, 2)

(a) (6, −9) = 3(2, −3)，所以更简单的方向是 (2, −3)。

(b) x：−1 + 6λ = 5，所以 λ = 1。y：4 − 9(1) = −5。吻合，所以 (5, −5) 在 l 上。

(c) x：−1 + 6λ = 2，所以 λ = 1/2。y：4 − 9/2 = −1/2，不是 0。(2, 0) 不在 l 上。