共线（collinear）是什么意思？

共线的点位于同一条直线上。要证明共线，就证明两个有公共点的位移互为标量倍数，例如 →AC = 3→AB。它们平行且共用 A，所以三个点在同一直线上。

为什么只说“平行”还不够？

两条不同的直线也可以平行，却不是同一条线。公共点（例如 A 同时出现在 →AB 和 →AC 中）才把它们锁定在同一条直线上。没有公共点，就只证明了平行。

从同一个点出发的任意两个位移都可以，例如 →AB 和 →AC。选根据已知信息最容易写出的一对，并确保两者同起点或同终点。

要证明 A、B、C 共线，就证明 →AC 是 →AB 的标量倍数。两个位移都从 A 出发，所以它们在同一条直线上，A、B、C 也就在同一直线上。

这一课用到求线段上的分点中的分点技能。

完整的证明有三部分：

→OA = a + 2b，→OB = 3a + b，→OC = 7a − b。证明 A、B、C 共线，并求 AB : BC。

→AB： →OB − →OA = (3a + b) − (a + 2b) = 2a − b。

→AC： →OC − →OA = (7a − b) − (a + 2b) = 6a − 3b。

比较： 6a − 3b = 3(2a − b)，所以 →AC = 3→AB。

结论： →AC 与 →AB 平行且共用点 A，所以 A、B、C 共线。

比例： →BC = →AC − →AB = 3→AB − →AB = 2→AB。因此 AB : BC = 1 : 2。

常见的失误是只核对一个系数。

错误做法： →AB = 2a − b，→AC = 6a − 2b。“6 ÷ 2 = 3，所以 →AC = 3→AB。”

学生只比较了 a 的项，忽略了 b 的项。

整体相乘：3(2a − b) = 6a − 3b，不是 6a − 2b。b 的系数比例不同，所以这两个向量并不平行。一定要把整个向量乘开，并比较两个系数。

1. →AB = 2a + 3b，→BC = 6a + 9b。A、B、C 共线吗？

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→BC = 3(2a + 3b) = 3→AB。它们平行且共用 B。

是，共线。

2. →PQ = 3a − 2b，→QR = 6a + kb。求 k，使 P、Q、R 共线。

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a 的系数翻倍（3 变 6），所以 →QR = 2→PQ = 6a − 4b。检查：2 × (−2) = −4。

k = −4

3. →OA = a，→OB = b，→OC = 3b − 2a。证明 A、B、C 共线。

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→AB = b − a。→AC = →OC − →OA = 3b − 2a − a = 3b − 3a = 3(b − a)。

→AC = 3→AB 且共用 A，所以 A、B、C 共线。

共线给了你判断一个点是否在直线上的条件。下一步是求两条这样的直线在哪里相交：求向量定义的两条直线的交点。模块总览展示了各部分如何衔接。

如果每一步你都懂，却不知道怎么写结论，可以看看我们在线上一对一附加数学补习中是怎样带学生的。