Set ini mempunyai sepuluh soalan asli, disusun daripada yang lebih mudah kepada yang lebih sukar, meliputi kelima-lima pelajaran dalam paparan data dan penaakulan longgokan. Soalan 1 dan 2 menggunakan histogram, 3 hingga 5 menggunakan kekerapan longgokan, 6 dan 7 menggunakan rajah serakan, dan 8 hingga 10 meminta anda membandingkan dan memilih.
Cuba setiap soalan di atas kertas, tanpa kalkulator kecuali anda perlukannya untuk pembahagian, dan tulis kerja anda seperti dalam peperiksaan.
Hanya selepas itu buka jawapan. Tandakan yang salah dan gunakan senarai penghalaan di hujung. Alat latihan kerja tanpa kalkulator dan penjelajah asas peratusan boleh membantu menyemak aritmetik, dan log kesilapan dan baris ujian semula ialah tempat yang baik untuk merekod kesilapan.
Soalan
1. Satu jadual terkumpul menunjukkan umur, dalam tahun, 65 orang di sebuah kelab.
| Umur x | 0 < x ≤ 5 | 5 < x ≤ 15 | 15 < x ≤ 20 |
|---|---|---|---|
| Kekerapan | 10 | 35 | 20 |
Cari ketumpatan kekerapan (frequency density) bagi setiap kelas, untuk melukis histogram.
Tunjuk jawapan
Lebar kelas: 5, 10 dan 5. Ketumpatan kekerapan = kekerapan ÷ lebar kelas.
0 < x ≤ 5: 10 ÷ 5 = 2. 5 < x ≤ 15: 35 ÷ 10 = 3.5. 15 < x ≤ 20: 20 ÷ 5 = 4.
2. Sebuah histogram mempunyai tiga bar: 0 < x ≤ 20 dengan tinggi 0.5, 20 < x ≤ 30 dengan tinggi 2.2, dan 30 < x ≤ 50 dengan tinggi 1.4. (a) Cari jumlah kekerapan. (b) Anggarkan bilangan nilai dengan 25 < x ≤ 40.
Tunjuk jawapan
(a) Kekerapan ialah tinggi × lebar: 0.5 × 20 = 10, 2.2 × 10 = 22, 1.4 × 20 = 28. Jumlah = 10 + 22 + 28 = 60.
(b) Bahagian bar kedua dari 25 hingga 30 berlebar 5: 2.2 × 5 = 11. Bahagian bar ketiga dari 30 hingga 40 berlebar 10: 1.4 × 10 = 14. Anggaran = 11 + 14 = 25. Ia menganggap nilai tersebar sekata dalam setiap kelas.
3. Panjang 60 panggilan telefon (dalam minit) memberi kekerapan longgokan berikut: 3 pada 10, 11 pada 20, 29 pada 30, 47 pada 40, 56 pada 50 dan 60 pada 60. Anggarkan median panjang panggilan.
Tunjuk jawapan
n = 60, jadi median ialah nilai ke-30. Ia terletak di antara (30, 29) dan (40, 47). Kenaikan yang diperlukan ialah 30 − 29 = 1 daripada 18, jadi panjangnya ialah 30 + 10 × 1/18 = 30 + 0.556 ≈ 30.6 minit.
Semak: median patut berada dalam kelas 30 hingga 40, tempat kekerapan longgokan melepasi 30. Memang begitu.
4. Menggunakan data dalam soalan 3, anggarkan julat antara kuartil (interquartile range).
Tunjuk jawapan
Kuartil bawah: kedudukan 60 ÷ 4 = 15, di antara (20, 11) dan (30, 29): 20 + 10 × 4/18 ≈ 22.22.
Kuartil atas: kedudukan 3 × 60 ÷ 4 = 45, di antara (30, 29) dan (40, 47): 30 + 10 × 16/18 ≈ 38.89.
IQR ≈ 38.89 − 22.22 = 16.67, iaitu kira-kira 16.7 minit.
5. Menggunakan data dalam soalan 3, anggarkan berapa banyak panggilan yang berlangsung lebih daripada 35 minit.
Tunjuk jawapan
Pada 35 minit, separuh jalan antara 30 dan 40, kekerapan longgokan ialah 29 + 18 × 0.5 = 38. Maka 60 − 38 = 22 panggilan.
Perhatikan bahawa jawapan mengira yang melebihi 35, bukan yang sama atau kurang.
6. Pada rajah serakan suhu harian x (°C) melawan minuman sejuk yang dijual y, garis penyuaian terbaik melalui (28, 110) dan (34, 140). (a) Cari persamaannya. (b) Ramalkan jualan pada 31 °C. (c) Terangkan mengapa ramalan untuk 40 °C tidak boleh dipercayai jika data meliputi 26 °C hingga 36 °C.
Tunjuk jawapan
(a) Kecerunan = (140 − 110) ÷ (34 − 28) = 30 ÷ 6 = 5. Maka y = 5x + c. Menggunakan (28, 110): 110 = 140 + c, jadi c = −30. Garisnya ialah y = 5x − 30. Semak dengan (34, 140): 170 − 30 = 140. ✓
(b) y = 5 × 31 − 30 = 155 − 30 = 125 minuman.
(c) 40 °C berada di luar julat data, jadi ini ekstrapolasi. Corak mungkin tidak berterusan, misalnya jika hari yang sangat panas menyebabkan orang kekal di rumah.
7. Rajah serakan menunjukkan murid yang memiliki lebih banyak buku cenderung mempunyai markah lebih tinggi. Seorang rakan sekelas berkata, “Jadi membeli lebih banyak buku akan menaikkan markah anda.” Ulas kesimpulan ini.
Tunjuk jawapan
Rajah itu menunjukkan kaitan, bukan sebab. Faktor ketiga, seperti masa yang dihabiskan murid untuk membaca, boleh mempengaruhi bilangan buku yang dimiliki dan markah. Kesimpulan yang selamat ialah lebih banyak buku berkait dengan markah lebih tinggi, dan bukti tambahan diperlukan untuk menuntut bahawa membeli buku menyebabkan peningkatan.
8. Kelas P mempunyai median 64 dan IQR 12. Kelas Q mempunyai median 64 dan IQR 24. Tulis dua perbandingan dalam konteks (markah ujian).
Tunjuk jawapan
Median sama (64), jadi markah tipikal sama dalam kedua-dua kelas. Kelas P mempunyai IQR lebih kecil (12 berbanding 24), jadi markahnya lebih konsisten, manakala markah Kelas Q lebih bertaburan.
9. Dalam Tingkatan A, 21 daripada 50 orang murid menggunakan perpustakaan semasa rehat. Dalam Tingkatan B, 36 daripada 120 orang. Tingkatan manakah mempunyai kadar yang lebih besar menggunakan perpustakaan?
Tunjuk jawapan
Tingkatan A: 21 ÷ 50 = 0.42 = 42%. Tingkatan B: 36 ÷ 120 = 0.30 = 30%. Tingkatan A mempunyai kadar yang lebih besar, walaupun Tingkatan B mempunyai lebih ramai murid dan bilangan 36 lebih besar daripada 21.
10. Seorang murid membelanjakan RM45 daripada elaun RM300 untuk pengangkutan. (a) Berapakah sudut pengangkutan dalam carta pai? (b) Paparan manakah yang anda pilih untuk mencari median 200 markah peperiksaan terkumpul, dan yang mana untuk membandingkan dua kumpulan berlainan saiz?
Tunjuk jawapan
(a) 45 ÷ 300 × 360 = 0.15 × 360 = 54°.
(b) Untuk median markah terkumpul, gunakan lengkung kekerapan longgokan dan baca pada nilai ke-100 (200 ÷ 2). Untuk membandingkan kumpulan berlainan saiz, gunakan peratusan atau kekerapan relatif, misalnya dalam carta bar, supaya saiz kumpulan tidak memesongkan gambar.
Jika anda tersilap
- Soalan 1 dan 2 (tinggi dibaca sebagai kekerapan, atau lebar terlupa): kembali ke membaca histogram dengan ketumpatan kekerapan.
- Soalan 3 hingga 5 (kedudukan salah, paksi salah, memplot pada titik yang salah): semak semula menganggar median daripada kekerapan longgokan.
- Soalan 6 dan 7 (ekstrapolasi, atau menuntut sebab): lihat menggunakan rajah serakan tanpa menyimpulkan sebab-akibat.
- Soalan 8 dan 9 (membandingkan bilangan, atau hanya satu ukuran): teliti membandingkan dua taburan dengan skala serasi.
- Soalan 10 (memilih paparan): ulang kaji memilih paparan yang mengekalkan makna data.
Baiki pelajaran dahulu, kemudian cuba soalan baharu beberapa hari kemudian. Jika kesilapan yang sama kembali lebih daripada sekali, ada baiknya seseorang melihat kerja anda, dan itulah yang dilakukan guru kami dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu.