这组练习有十道原创题，由易到难，涵盖数据图表与累积推理的全部五课。第 1、2 题用到直方图，第 3 至 5 题用到累积频数，第 6、7 题用到散点图，第 8 至 10 题要求你比较与选择。
每道题先在纸上做，除非做除法需要，否则不用计算器，并像考试那样写出过程。
做完才打开答案。把做错的题标记出来，再用最后的对照清单回到相应课文。免计算器演算训练器和百分比基数探索器能帮你检查计算，错题记录与重测队列则是记录错误的好地方。
题目
1. 下表显示某俱乐部 65 人的年龄（岁）。
| 年龄 x | 0 < x ≤ 5 | 5 < x ≤ 15 | 15 < x ≤ 20 |
|---|---|---|---|
| 频数 | 10 | 35 | 20 |
求每一组的频数密度（frequency density），以便画直方图。
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组距：5、10、5。频数密度 = 频数 ÷ 组距。
0 < x ≤ 5：10 ÷ 5 = 2。5 < x ≤ 15：35 ÷ 10 = 3.5。15 < x ≤ 20：20 ÷ 5 = 4。
2. 一幅直方图有三根柱：0 < x ≤ 20，高 0.5；20 < x ≤ 30，高 2.2；30 < x ≤ 50，高 1.4。(a) 求总频数。(b) 估计满足 25 < x ≤ 40 的数据个数。
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(a) 频数 = 高 × 宽：0.5 × 20 = 10，2.2 × 10 = 22，1.4 × 20 = 28。总数 = 10 + 22 + 28 = 60。
(b) 第二根柱从 25 到 30 的部分宽 5：2.2 × 5 = 11。第三根柱从 30 到 40 的部分宽 10：1.4 × 10 = 14。估计值 = 11 + 14 = 25。这假设每组内的数据均匀分布。
3. 60 通电话的时长（分钟）给出如下累积频数：到 10 分钟为 3，到 20 分钟为 11，到 30 分钟为 29，到 40 分钟为 47，到 50 分钟为 56，到 60 分钟为 60。估计中位数时长。
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n = 60，所以中位数是第 30 个数据。它位于 (30, 29) 与 (40, 47) 之间。需要上升 30 − 29 = 1，占 18 的 1 份，所以时长是 30 + 10 × 1/18 = 30 + 0.556 ≈ 30.6 分钟。
检查：中位数应落在 30 到 40 这一组，也就是累积频数越过 30 的地方。确实如此。
4. 用第 3 题的数据，估计四分位距（interquartile range）。
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下四分位数：位置 60 ÷ 4 = 15，位于 (20, 11) 与 (30, 29) 之间：20 + 10 × 4/18 ≈ 22.22。
上四分位数：位置 3 × 60 ÷ 4 = 45，位于 (30, 29) 与 (40, 47) 之间：30 + 10 × 16/18 ≈ 38.89。
IQR ≈ 38.89 − 22.22 = 16.67，即约 16.7 分钟。
5. 用第 3 题的数据，估计有多少通电话超过 35 分钟。
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35 分钟正好在 30 与 40 的中间，此处累积频数是 29 + 18 × 0.5 = 38。所以 60 − 38 = 22 通电话。
注意答案要求的是超过 35 分钟的，而不是 35 分钟或以下的。
6. 在每日气温 x（°C）与冷饮销量 y 的散点图上，最佳拟合线经过 (28, 110) 和 (34, 140)。(a) 求它的方程。(b) 预测 31 °C 时的销量。(c) 如果数据涵盖 26 °C 到 36 °C，解释为什么对 40 °C 的预测不可靠。
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(a) 斜率 = (140 − 110) ÷ (34 − 28) = 30 ÷ 6 = 5。于是 y = 5x + c。代入 (28, 110)：110 = 140 + c，所以 c = −30。这条线是 y = 5x − 30。用 (34, 140) 检查：170 − 30 = 140。✓
(b) y = 5 × 31 − 30 = 155 − 30 = 125 杯。
(c) 40 °C 超出数据范围，所以这是外推。规律未必延续，例如酷热的日子可能让人们待在家里。
7. 散点图显示拥有较多书的学生分数倾向于较高。一位同学说：“所以多买书就能提高你的分数。”请评论这个结论。
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这张图显示的是关联，不是因果。第三个因素，例如学生花多少时间阅读，可能同时影响拥有的书数和分数。稳妥的结论是：书多与分数高有关联；要断言买书导致进步，还需要更多证据。
8. 甲班的中位数是 64，IQR 是 12。乙班的中位数是 64，IQR 是 24。结合情境（测验分数）写出两个比较。
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中位数相同（64），所以两班的典型分数相同。甲班的 IQR 更小（12 对 24），所以它的分数更一致，而乙班的分数更分散。
9. 甲级中有 50 名学生，其中 21 名午休时使用图书馆。乙级中有 120 名学生，其中 36 名使用。哪一级使用图书馆的比例更大？
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甲级：21 ÷ 50 = 0.42 = 42%。乙级：36 ÷ 120 = 0.30 = 30%。甲级的比例更大，尽管乙级总人数更多，36 也大于 21。
10. 一名学生把 RM300 零用钱中的 RM45 花在交通上。(a) 饼图中交通占多大的角度？(b) 要求 200 个分组考试分数的中位数，你会选哪种图？要比较两个人数不同的组，又会选哪种？
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(a) 45 ÷ 300 × 360 = 0.15 × 360 = 54°。
(b) 求分组分数的中位数，用累积频数曲线，在第 100 个数据（200 ÷ 2）处读取。比较人数不同的组，用百分比或相对频数，例如画成柱状图，这样组别的大小就不会扭曲画面。
如果你做错了
- 第 1、2 题（把柱高当成频数，或忘了组距）：回到用频数密度读懂直方图。
- 第 3 至 5 题（位置错、轴读错、描点位置错）：重温用累积频数估计中位数。
- 第 6、7 题（外推，或断言因果）：见用散点图说话，不把相关当成因果。
- 第 8、9 题（比较个数，或只比较一个指标）：学习用一致的刻度比较两组分布。
- 第 10 题（选择图表）：复习选择不扭曲数据含义的图表。
先补好那一课，几天后再用新题重试。如果同样的失误出现不止一次，不妨让人看看你的解题过程，这正是我们的老师在线上一对一数学补习中所做的事。