Untuk mencari titik yang membahagi satu garis mengikut nisbah, tukarkan nisbah itu kepada pecahan bagi keseluruhan vektor, kemudian tambahkan bahagian itu pada titik permulaan. Langkah utama ialah menjumlahkan bahagian nisbah untuk mendapat jumlah keseluruhan.
Pelajaran ini berasaskan menambah vektor sesaran dan berkait dengan mencari titik tengah dan panjang tembereng dalam geometri koordinat.
Mengapa pecahan bukan nombor nisbah?
Nisbah AP:PB = 1:2 membandingkan dua bahagian. Keseluruhan garis AB ialah 1 + 2 = 3 bahagian. AP ialah 1 daripada 3 bahagian itu, jadi AP = ⅓AB.
Jika AP:PB = 3:1, keseluruhan ialah 4 bahagian dan AP = ¾AB. Pecahan sentiasa mempunyai bahagian pertama sebagai pengangka dan jumlah bahagian sebagai penyebut.
Bagaimana mencari titik langkah demi langkah?
- Cari AB dengan penolakan: titik hujung tolak titik permulaan, nombor atas dan bawah secara berasingan.
- Jumlahkan bahagian nisbah untuk mendapat jumlah keseluruhan.
- Tulis AP sebagai pecahan AB dan darabkan kedua-dua nombor AB dengannya.
- Tambah AP pada A untuk mendapat kedudukan P.
- Semak bahawa P terletak di antara A dan B, dan AP serta PB mempunyai nisbah yang diberi.
Contoh berlangkah
A(−2, 1) dan B(10, −8). Titik P terletak pada AB dengan AP:PB = 1:2. Cari koordinat P.
Langkah 1, vektor AB: (10 − (−2), −8 − 1) = (12, −9).
Langkah 2, jumlah bahagian: 1 + 2 = 3, jadi AP = ⅓AB.
Langkah 3, vektor AP: ⅓ × (12, −9) = (4, −3).
Langkah 4, kedudukan P: x = −2 + 4 = 2 dan y = 1 + (−3) = −2.
Jawapan: P(2, −2).
Semak: PB = B − P = (10 − 2, −8 − (−2)) = (8, −6). Ini dua kali AP = (4, −3), jadi AP:PB = 1:2. Betul.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan yang kerap ialah menggunakan nombor nisbah seolah-olah ia pecahan: menganggap AP:PB = 1:2 bermaksud AP = ½AB.
Jawapan yang salah: AP = ½ × (12, −9) = (6, −4.5), jadi P = (4, −3.5).
Pelajar terlupa bahawa keseluruhan ialah 3 bahagian, bukan 2.
Separuh AB akan menjadikan AP sama dengan PB, iaitu nisbah 1:1. Pembetulannya ialah menulis jumlah dahulu: jumlahkan bahagian, kemudian gunakan nombor itu sebagai penyebut.
Di sini semakan juga gagal, kerana PB = (6, −4.5) sama dengan AP dan bukannya dua kali AP.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. A(0, 3), B(10, −7). P terletak pada AB dengan AP:PB = 2:3. Cari P.
Lihat jawapan
AB = (10, −10). Jumlah bahagian = 5, jadi AP = ⅖AB = (4, −4).
P = (0 + 4, 3 + (−4)) = (4, −1).
Semak: PB = (6, −6), iaitu 3 bahagian, manakala AP ialah 2 bahagian bersaiz (2, −2).
2. Cari titik tengah bagi A(−4, 6) dan B(8, 2).
Lihat jawapan
AB = (12, −4). Separuh ialah (6, −2). Titik tengah = (−4 + 6, 6 + (−2)) = (2, 4).
3. A(4, −2) dan B(−8, 10). P terletak pada AB dengan AP:PB = 1:3. Cari P.
Lihat jawapan
AB = (−12, 12). Jumlah = 4, jadi AP = ¼AB = (−3, 3).
P = (4 + (−3), −2 + 3) = (1, 1).
Langkah seterusnya
Pelajaran berikutnya, membezakan kedudukan daripada sesaran, menerangkan vektor OA yang bermula dari asalan. Anda kemudian boleh mencuba set latihan vektor dan transformasi. Latihan pengiraan tanpa kalkulator membantu dengan pecahan vektor.
Jika pecahan vektor memperlahankan anda, guru kami boleh menunjukkan strukturnya dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu.