求线段的中点和长度

**中点（midpoint）**是两点正中间的点，用坐标的平均值求得。线段长度是两点之间的距离，用勾股定理求得。两者都来自同样的两个坐标，考试题有时会一次问这两项。

这两个公式怎么说？

对 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)：

• 中点 = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。先求 x 值的平均，再求 y 值的平均。
• 长度 AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)。先求两个差值，各自平方，相加，再开平方。

中点得到一对坐标，长度得到一个数。知道答案的形式，可以帮你检查是否用对了公式。

怎样一步一步算出来？

1. 写出两个点，每个负数都加上括号。
2. 求中点时，把 x 值相加再除以 2；把 y 值相加再除以 2。
3. 求长度时，先求 x 差和 y 差。
4. 把每个差值平方（负的差值平方后为正），再相加。
5. 开平方，按题目要求化简根式或取近似值。

例题详解

A 是 (−2, 1)，B 是 (6, 7)。求 AB 的中点和 AB 的长度。

中点： x = (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2，y = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4。中点是 (2, 4)。

差值： x 差 = 6 − (−2) = 8，y 差 = 7 − 1 = 6。

长度： AB = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10。

独立验算： 差值 6 和 8 构成放大一倍的 3-4-5 三角形，所以斜边是 10。另外，中点 (2, 4) 与 A 相距 5：它与 A 的差值是 4 和 3，√(16 + 9) = 5，正好是 10 的一半。

要留意的错误

常见的失误是把两个差值直接相加，而不用勾股定理。

错误做法： 长度 = 8 + 6 = 14。

学生两个差值都算对了，却忘了平方、相加再开平方。

一张草图就能说明 14 为什么不对：先横着走 8 再竖着走 6，比两点之间的直线路程更长。直线一定比 14 短，实际上是 10。

第二个失误是求中点时忘了除以 2，结果得到 (4, 8) 而不是 (2, 4)。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 求连接 (1, −3) 和 (7, 5) 的线段的中点和长度。

2. 求连接 (−4, 2) 和 (1, −10) 的线段的长度。

3. M(3, 2) 是 AB 的中点，A 是 (1, −4)。求 B。

下一步

中点和长度掌握后，如果减法仍不稳，可以回到用两点计算斜率，或继续学习写出直线方程。坐标几何练习题组有混合题，无计算器运算训练则有助于精确处理根式和分数。

能背出两个公式、却在较长的题目里混淆的学生，需要有人在旁边即时看他们的解题过程。这正是我们的老师在数学线上一对一补习中所做的。