判断平行线与垂直线

两条直线的斜率相同时，它们平行。两条直线的斜率相乘等于 −1 时，它们垂直。考试用这个方法来问两条线是否平行，或要求写出经过某点、与已知直线平行或垂直的直线方程。

这两条规则是什么？

• 平行： m₁ = m₂。
• 垂直： m₁ × m₂ = −1。换句话说，第二条的斜率是第一条斜率的负倒数：把分数倒过来，再变号。

3/2 的负倒数是 −2/3，−5 的负倒数是 1/5。永远用相乘来验算：(3/2) × (−2/3) = −1，(−5) × (1/5) = −1。

怎样一步一步算出来？

1. 整理成 y = mx + c，让斜率一目了然。
2. 读出 m。 平行线沿用这个值；垂直线用它的负倒数。
3. 用给定的点和 y − y₁ = m(x − x₁)，做法同写出直线方程。
4. 验算： 代入这个点，并确认斜率规则成立。

例题详解

直线 L 的方程是 2x + 3y = 6。求 (a) 经过 (3, 1) 且与 L 平行的直线方程，(b) 经过 (4, −1) 且与 L 垂直的直线方程。

第一步，L 的斜率： 3y = −2x + 6，所以 y = −2/3 x + 2。斜率是 m = −2/3。

(a) 平行： 斜率同样是 −2/3。于是 y − 1 = −2/3(x − 3)，即 y − 1 = −2/3 x + 2，得 y = −2/3 x + 3。验算：当 x = 3 时，y = −2 + 3 = 1。✓

(b) 垂直： 斜率是 −2/3 的负倒数，也就是 3/2。于是 y − (−1) = 3/2(x − 4)，即 y + 1 = 3/2 x − 6，得 y = 3/2 x − 7。验算：当 x = 4 时，y = 6 − 7 = −1。✓

斜率验算： (−2/3) × (3/2) = −1，所以两条线垂直。✓

要留意的错误

常见的失误是只做了规则的一半。

错误做法： −2/3 的垂直斜率是 −3/2。

学生把分数倒过来了，却没有变号。乘积是 (−2/3) × (−3/2) = +1，而不是 −1。

乘积检验马上就能发现这个问题。倒过来并变号，所以 −2/3 变成 3/2。

第二个失误是直接把 2x + 3y = 6 的斜率读成 2 或 −2，而没有先整理。只有当 y 单独在一边时，x 的系数才是斜率。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. y = 4x + 1 与 x + 4y = 8 垂直吗？

2. 与斜率为 5 的直线垂直的任何直线，斜率是多少？

3. 3x − y = 7 与 y = 3x + 2 平行吗？

下一步

试试本课题的最后一项技能：检查三点是否共线，它以新的方式运用相同的斜率。需要温习时，回到用两点计算斜率，然后用坐标几何练习题组测试自己。

如果你已经背熟了规则，却在考试压力下弄混符号，这类细节正是老师在数学线上一对一补习中可以帮你纠正的。