本模块讲函数与映射：接收一个输入、给出唯一输出的规则。你会学到计算函数值、组合函数、反转函数、找出允许的输入，以及在真实情境中读懂函数。同样的想法还会出现在图像、变换和代数分式中。
请在 Cambridge 官网查看最新的 IGCSE Mathematics 0580 课程大纲，确认你所考年份的具体内容要点和符号写法。我们的数学学习指南展示了本模块在所有模块中的位置。
你应该已经掌握什么？
你需要会把数值代入代数式、会处理负数、会展开简单的括号。还需要会解一步或两步的一次方程，因为反函数要用到它。如果其中有哪项还不稳，请先复习。
导入例题
设 f(x) = 2x + 3，g(x) = x²。求 f(−4)、gf(−4) 和 f⁻¹(−5)。
第一步，计算： f(−4) = 2(−4) + 3 = −8 + 3 = −5。
第二步，复合： gf(−4) 表示先 f 后 g。已知 f(−4) = −5，所以 g(−5) = (−5)² = 25。
第三步，求反函数： y = 2x + 3，所以 x = (y − 3)/2，f⁻¹(x) = (x − 3)/2。于是 f⁻¹(−5) = (−5 − 3)/2 = −8/2 = −4。
检查： f(−4) = −5，f⁻¹(−5) = −4。反函数把原来的输入还了回来，说明结果正确。
这一道题用到了五课中的四课：代入负数、复合、反函数和仔细处理符号。它展示了整个模块是如何连在一起的。
应该按什么顺序学习？
- 代入负数计算函数值：保护每个符号的代入习惯。
- 追踪输入通过复合函数：哪个函数先做，以及为什么顺序很重要。
- 反转一对一映射：一步步撤销规则，并用数值检查。
- 限制输入使表达式有定义：把值排除出定义域的两个条件。
- 解读情境中的函数机器：一个同时用到前面所有技能的快递运费例子。
然后做综合练习题组。每天一课、周末做练习题组，是一个稳健的节奏。
哪些陷阱最容易让学生中招？
- 丢掉括号，把 (−3)² 算成 −3²。
- 把 fg 读成“先 f”，其实是先 g。
- 把倒数当成反函数。
- 反转时撤销运算的顺序错了。
- 分式和根号同时出现时只写一个限制。
- 情境题里忽略定义域。
每一课都会完整展示其中一种失误，然后加以改正。
练习题组该怎么用？
每题先在纸上做，再打开答案。步骤要像考试时那样写。函数复合与反函数探索器能让你用任意输入测试规则或复合函数，错题记录与重测队列则帮你跟踪反复出现的失误。
做错时，请看练习题组末尾的导向表，回到它指出的那一课。先修补那一课，几天后再做一道类似的题。