为什么 f(g(x)) 和 g(f(x)) 通常不相同？

复合先用里面的函数。f(g(x)) 表示先做 g，再做 f；g(f(x)) 表示先做 f，再做 g。顺序一换，作用在原输入上的运算就不同，所以一般结果不同。个别特殊输入可能碰巧相同，工具会指出这一点。

函数在某个定义域上是一对一，是什么意思？

意思是在该定义域内，每个输出只来自一个输入。在图像上，水平线不会与它相交两次。只有一对一的函数在该定义域上才有反函数。例如 x² 在 −3 到 3 上不是一对一，但在 0 到 3 上是。

不能。它只在定义域内抽取若干点检查，看数值是一直上升还是一直下降。这是数值检查，不是证明。你自己作答时，应通过说明函数是一对一，或解出 x 并写明定义域，来说明反函数存在。

数字、x、运算符 + − × ÷ 和 ^、括号、sqrt( ) 与 abs( )。例如 2x+1 或 (x−1)^2。工具用固定的安全解析器读取这些内容，不会执行任意代码。其他内容会得到一条说明无法读取原因的提示。

复合函数与反函数探索器让你输入两个函数 f(x) 和 g(x)，看看把一个放进另一个会发生什么。它还会在你选定的定义域上检验 f 或 g 是否有反函数。

结果会分步显示，再附上表格和图像。

输入 f(x) = 和 g(x) =。可以使用数字、x、+ − × ÷ ^、括号、sqrt( ) 和 abs( )。例如 2x+1 或 (x-1)^2。
输入一个输入值 x，让它依次通过两个函数。
输入定义域从和定义域到的数值。“从”的值必须较小。
在“检查其反函数的函数”中选择 f 或 g。
如果想在某处求反函数的值，就输入 y 值。
按显示过程。按重置回到示例。

在 x 处的复合显示两行：f(g(x)) 和 g(f(x))。每一行都分成里层步骤和外层步骤，例如“先 g(3) = 9，再 f(9) = 19”。

输入输出表在你的定义域上列出 x、g(x)、f(g(x))、f(x) 和 g(f(x))。图像画出两个复合函数，让你看出它们何处相同、何处不同。

反函数检查在抽样检验中说明所选函数在你的定义域上是否一对一。如果是，该定义域上存在反函数。如果不是，工具会说明两个输入给出同一个输出，并建议限制定义域可能有帮助。对线性函数，它还会通过解出 x 显示反函数。

示例是 f(x) = 2x + 1 和 g(x) = x²，x = 3。

顺序很重要：19 和 49 相差很远。一般地，f(g(x)) = 2x² + 1，g(f(x)) = (2x + 1)²。

试试 x = 0，两者都得 1。工具会说明这是这个输入的巧合，不是规律。两个复合函数在 x = −2 时也相同，都得 9。

关于反函数，选择 f 并设 y = 7。函数是线性的，所以工具把 y = 2x + 1 解出 x，得到 x = (7 − 1) ÷ 2 = 3，与 f(3) = 7 吻合。

再选 g，使用默认定义域 −3 到 3。工具报告 g 不是一对一，因为 g(−2) 和 g(2) 都是 4。把定义域改成 0 到 3 再运行。

这时 g 一直上升，所以该定义域上存在反函数。

更大的主题是函数与映射和函数与限制。如果想让老师检查你的思路，请看线上一对一附加数学补习。其他工具见学习工具目录。