这十一道题涵盖函数值、复合、反函数、受限定义域和真实情境。题目全部原创，由易到难，为函数与映射而写。
每题先在纸上做。写出每一步，因为考试中方法与最终答案同样得分。有了自己的尝试之后，再打开答案。
题目与详解
1. 若 f(x) = 4x − 7，求 f(5) 和 f(−2)。
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f(5) = 4(5) − 7 = 20 − 7 = 13。 f(−2) = 4(−2) − 7 = −8 − 7 = −15。
2. 若 f(x) = x² + 3x，求 f(−4)。
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f(−4) = (−4)² + 3(−4) = 16 − 12 = 4。
3. 若 f(x) = 10 − x²，求 f(−3)。
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f(−3) = 10 − (−3)² = 10 − 9 = 1。
4. 若 f(x) = 2x² − x + 1，求 f(−2)。
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f(−2) = 2(−2)² − (−2) + 1 = 2(4) + 2 + 1 = 8 + 2 + 1 = 11。
5. 设 f(x) = x + 2，g(x) = 3x。求 fg(4) 和 gf(4)。
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fg(4)：g(4) = 12，再算 f(12) = 14。所以 fg(4) = 14。 gf(4)：f(4) = 6，再算 g(6) = 18。所以 gf(4) = 18。 两种顺序的答案不同。
6. 设 f(x) = x² − 1，g(x) = 2x + 3。求 fg(x) 和 gf(x)，并化简。
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fg(x) = (2x + 3)² − 1 = 4x² + 12x + 9 − 1 = 4x² + 12x + 8。 gf(x) = 2(x² − 1) + 3 = 2x² − 2 + 3 = 2x² + 1。 用 x = 1 检查：fg(1) = f(5) = 24，4 + 12 + 8 = 24。gf(1) = g(0) = 3，2 + 1 = 3。
7. 求 f(x) = (x − 4)/3 的反函数，再求 f⁻¹(5)。
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y = (x − 4)/3，所以 3y = x − 4，x = 3y + 4。因此 f⁻¹(x) = 3x + 4。 f⁻¹(5) = 3(5) + 4 = 19。 检查：f(19) = 15/3 = 5。
8. 若 f(x) = 7 − 3x，求 f⁻¹(−5)。
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y = 7 − 3x，所以 3x = 7 − y，x = (7 − y)/3。于是 f⁻¹(x) = (7 − x)/3。 f⁻¹(−5) = (7 + 5)/3 = 12/3 = 4。 检查：f(4) = 7 − 12 = −5。
9. 写出使 f(x) = √(5 − 2x)/(x + 1) 有定义的 x 的取值。
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平方根：5 − 2x ≥ 0，所以 2x ≤ 5，x ≤ 2.5。 分母：x + 1 ≠ 0，所以 x ≠ −1。 两个条件合起来：x ≤ 2.5，且 x ≠ −1。
10. 某手机数据套餐收费 RM20，再加每 GB RM0.80，即 c = 20 + 0.8g，0 ≤ g ≤ 10 GB。(a) 求 6.5 GB 的费用。(b) 账单是 RM26.80，用了多少 GB？(c) 账单 RM30 有可能是对的吗？
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(a) c = 20 + 0.8 × 6.5 = 20 + 5.2 = RM25.20。 (b) 20 + 0.8g = 26.8，所以 0.8g = 6.8，g = 6.8 ÷ 0.8 = 8.5 GB。这在 0 到 10 之间。检查：0.8 × 8.5 = 6.8。 (c) 20 + 0.8g = 30 得 0.8g = 10，g = 12.5。这超过了 10，所以不可能，RM30 不会出现在这个套餐里。
11. 设 f(x) = 2x + 1，g(x) = x²。(a) 解 fg(x) = 51。(b) 解 gf(x) = 49。
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(a) fg(x) = 2x² + 1。所以 2x² + 1 = 51，2x² = 50，x² = 25，得 x = 5 或 x = −5。检查：2(25) + 1 = 51。 (b) gf(x) = (2x + 1)²。所以 (2x + 1)² = 49，得 2x + 1 = 7 或 2x + 1 = −7。于是 x = 3 或 x = −4。检查 x = −4：(−8 + 1)² = 49。
如果你做错了
把错误类型对应到能修补它的课程。
| 哪里出错 | 题号 | 回到 |
|---|---|---|
| 代入负数时丢了符号或括号 | 1 至 4 | 代入负数计算函数值 |
| 函数套用顺序错了，或括号展开错了 | 5、6、11 | 追踪输入通过复合函数 |
| 撤销运算的顺序错了，或取了倒数 | 7、8 | 反转一对一映射 |
| 漏了其中一个条件，或把不等号方向弄反 | 9 | 限制输入使表达式有定义 |
| 早停了一步，或忽略定义域和单位 | 10 | 解读情境中的函数机器 |
可以用函数复合与反函数探索器拿自己的数值测试任何规则，用错题记录与重测队列跟踪反复出现的错误类型。无计算器运算训练对运算步骤很有帮助。
如果这张表里有一整行你都觉得眼熟，我们的老师可以在数学线上一对一补习中陪你逐项梳理。