要反转一个函数，按相反的顺序撤销它的运算。只有当每个输出都只来自一个输入时，映射才能干净地反转，这就是“一对一”的意思。
这一课接在追踪输入通过复合函数之后，属于函数与映射。每当你从最终值倒推回原值，它都会换个样子出现。
“反转”是什么意思？
取映射 x → 3x + 1，输入为 1、2、3。
| 输入 x | 输出 f(x) |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
| 3 | 10 |
反转后，4 回到 1，7 回到 2，10 回到 3。反转映射就是把表格从右往左读。因为没有两个输入共用一个输出，所以反转时不会丢失任何信息。
求反函数的步骤
- 写成 y = 规则。 例如 y = 3x − 5。
- 把 x 变成主项。 先撤销最后一步运算：加 5，再除以 3。
- 改名：把结果里的 y 换成 x，写成 f⁻¹(x)。
- 用数值检查：先用 f，再用 f⁻¹，确认回到起点。
例题详解
求 f(x) = 3x − 5 的反函数。
第一步： y = 3x − 5。
第二步： y + 5 = 3x，所以 x = (y + 5)/3。
第三步： f⁻¹(x) = (x + 5)/3。
检查： f(4) = 12 − 5 = 7。再算 f⁻¹(7) = (7 + 5)/3 = 12/3 = 4。回到了 4，说明结果正确。
同样的想法也出现在百分比里。
涨价 20% 后的价格是原价的 1.2 倍，即 x → 1.2x。若新价格是 RM96，原价就要用反函数，也就是除以 1.2：96 ÷ 1.2 = RM80。检查：80 × 1.2 = 96。
百分比基数探索器会展示为什么要除，而不是减去 20%。
要留意的错误
有两个常见失误：一是取倒数，二是撤销运算时顺序错了。
错误做法： f(x) = 3x − 5，所以 f⁻¹(x) = x/3 + 5
学生按原来运算的相同顺序撤销，先除以 3 再加 5。
验证一下：f⁻¹(7) 会得到 7/3 + 5，并不是 4。正确的做法是先撤销最后一步运算。f 做的是“× 3，再 − 5”，所以反函数做“+ 5，再 ÷ 3”。
用一个检验数值，几秒钟就能发现错误。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. 求 f(x) = 2x + 7 的反函数，再求 f⁻¹(11)。
查看答案
y = 2x + 7，所以 x = (y − 7)/2。因此 f⁻¹(x) = (x − 7)/2。f⁻¹(11) = 4/2 = 2。检查：f(2) = 11。
2. 求 f(x) = x/4 − 3 的反函数。
查看答案
y = x/4 − 3，所以 y + 3 = x/4，x = 4(y + 3)。因此 f⁻¹(x) = 4(x + 3)，即 4x + 12。检查：f(8) = 2 − 3 = −1，f⁻¹(−1) = 4(2) = 8。
3. 当 f(x) = 5 − 2x 时，求 f⁻¹(−3)。
查看答案
y = 5 − 2x，所以 2x = 5 − y，x = (5 − y)/2。于是 f⁻¹(x) = (5 − x)/2，f⁻¹(−3) = 8/2 = 4。检查：f(4) = 5 − 8 = −3。
下一步
并不是每条规则在所有数上都能反转，所以接下来看限制输入使表达式有定义。函数复合与反函数探索器和无计算器运算训练可以用来拿数值检验你的反函数。
如果按正确顺序撤销运算仍然让你没把握，我们的老师可以在数学线上一对一补习中陪你一起理清。