复合函数（composite function）是先做一个函数，再把它的输出交给另一个函数。fg(x) 的意思是“先做 g，再做 f”，因为紧挨着 x 的是 g。
这是函数与映射的第二课，直接建立在代入负数计算函数值之上，因为第一个函数的输出很可能是负数。
怎样读 fg(x)？
想象两台机器排成一行。输入 x 先进入 g，g 的输出再进入 f，f 的输出就是答案。
把它写成 f(g(x))，最里面的括号先算。由内向外算，就是你需要养成的习惯。
两种算法
- 用数值： 先求内层的结果，再把它当作下一步的输入。
- 用表达式： 把外层函数里的每个 x 换成整个内层函数，再化简。
题目给数值时用数值法；题目要求 fg(x) 本身时用表达式法。
例题详解
设 f(x) = 3x − 2，g(x) = x² + 1。求 fg(2)、gf(2)、fg(x) 和 gf(x)。
fg(2)： g(2) = 4 + 1 = 5。再算 f(5) = 15 − 2 = 13。
gf(2)： f(2) = 6 − 2 = 4。再算 g(4) = 16 + 1 = 17。
fg(x)： f(g(x)) = 3(x² + 1) − 2 = 3x² + 3 − 2 = 3x² + 1。
gf(x)： g(f(x)) = (3x − 2)² + 1。展开 (3x − 2)² 得 9x² − 12x + 4，所以 gf(x) = 9x² − 12x + 5。
检查： 把 x = 2 代入两个表达式。3(4) + 1 = 13，与 fg(2) 吻合。9(4) − 24 + 5 = 36 − 24 + 5 = 17，与 gf(2) 吻合。两条路线一致，表达式很可能是对的。
要留意的错误
最常见的失误是按书写顺序、从左往右套用函数。
错误做法： fg(2) = 先 f(2) 再 g：f(2) = 4，g(4) = 17
学生因为 f 写在前面就先做 f。这算出来的是 gf(2)，不是 fg(2)。
正确的顺序是先做 g。每次都问自己“哪个函数紧挨着 x？”，从它开始。第二个常见错误是把平方的括号当成两项分别平方，写成 (3x − 2)² = 9x² + 4，漏掉中间的 −12x。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. 设 f(x) = x + 4，g(x) = 2x。求 fg(3)。
查看答案
g(3) = 6，再算 f(6) = 6 + 4 = 10。
2. 设 f(x) = x²，g(x) = x − 1。求 fg(−2) 和 gf(−2)。
查看答案
fg(−2)：g(−2) = −3，再算 f(−3) = 9。gf(−2)：f(−2) = 4，再算 g(4) = 3。
3. 设 f(x) = 2x − 3，g(x) = x + 5。把 fg(x) 和 gf(x) 化简成表达式。
查看答案
fg(x) = 2(x + 5) − 3 = 2x + 10 − 3 = 2x + 7。gf(x) = (2x − 3) + 5 = 2x + 2。用 x = 1 检查：fg(1) = f(6) = 9，2 + 7 = 9；gf(1) = g(−1) = 4，2 + 2 = 4。
下一步
复合为反转一对一映射打下基础，因为反函数要按相反的顺序撤销整台机器。函数复合与反函数探索器把 fg 和 gf 并排显示，能让你直观看到顺序会改变答案。你也可以在无计算器运算训练中练习每一步。
如果你每一步代入都会做，但在压力下仍选错顺序，我们的老师可以在数学线上一对一补习中帮你把这个习惯纠正过来。