一个表达式有定义（defined），是指它给出一个实数。两件事会破坏这一点：除以零，以及对负数开平方根。限制输入，就是列出必须排除的值。
这一课属于函数与映射，接在反转一对一映射之后。当时你已经看到，像 x² 这样的规则并不能在所有输入上干净地反转。
这两种限制是什么？
- 分母不能为 0。 对 1/(x − 3)，当 x = 3 时分母为 0，所以 x ≠ 3。
- 平方根里面的值不能为负。 对 √(x + 5)，里面必须满足 x + 5 ≥ 0，所以 x ≥ −5。
当两者出现在同一条规则里时，两个条件必须同时成立。
找出限制的步骤
- 找分式。 令每个分母等于 0 并求解，这些值要排除。
- 找平方根。 令根号里面 ≥ 0，解这个不等式。
- 合并所有条件，写成一句完整的陈述。
- 测试一个被排除的值和一个允许的值来确认。
例题详解
写出使 f(x) = √(x − 2)/(x − 5) 有定义的 x 的取值。
平方根： x − 2 ≥ 0，所以 x ≥ 2。
分母： x − 5 ≠ 0，所以 x ≠ 5。
合并： x ≥ 2 且 x ≠ 5，也就是从 2 起的所有数，但不包括 5。
测试： x = 1 不满足平方根条件，因为 √(−1) 没有实数值。x = 5 会使分母为 0。x = 6 可以：√4/1 = 2。
所以 f 在 x ≥ 2 且 x ≠ 5 时有定义。
要留意的错误
常见的失误是两个条件都适用时只写了一个。
错误答案： x ≥ 2
学生处理了平方根，却忘了分母。
在 x ≥ 2 的范围里仍然包含 x = 5，而 f(5) 需要除以 0。改正的方法是在写答案之前，扫描表达式里每一条分数线和每一个根号。另一个失误是把不等号方向弄反：√(3 − x) 需要 3 − x ≥ 0，得 x ≤ 3，而不是 x ≥ 3。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. x 取什么值时，1/(x + 4) 没有定义？
查看答案
x + 4 = 0 得 x = −4。所以这个表达式对所有 x 都有定义，除了 x = −4。
2. 写出使 √(3 − x) 有定义的 x 的取值。
查看答案
3 − x ≥ 0，所以 3 ≥ x。答案是 x ≤ 3。测试：x = 2 得 √1 = 1；x = 4 得 √(−1)，不是实数。
3. 5/(x² − 9) 必须排除哪些 x 值？
查看答案
x² − 9 = 0 得 x² = 9，所以 x = 3 或 x = −3。必须排除的值是 x = 3 和 x = −3。检查：3² − 9 = 0，(−3)² − 9 = 0。
下一步
在真实情境中，往往只有部分输入才有意义，限制条件会再次出现，见解读情境中的函数机器。无计算器运算训练和百分比基数探索器能帮你练习辨认输入或基数何时不能为零。
如果你代数通常做得对，却常漏掉限制条件，这个习惯很容易在数学线上一对一补习中和老师一起练好。