用因数化简数值算式，就是把每个数写成较小数的乘积，然后约掉分子和分母里都有的部分。它适用于长的乘除算式、最简分数，以及最大公因数（HCF）和最小公倍数（LCM）的题目。
这项技能出现在数感与精确运算的前段，之后在代数分式、根式和比例中还会用到。
为什么因数能让计算变短？
先把大数相乘再相除，会产生很大的中间数值。用因数的话，在做任何乘法之前就先去掉共同的部分，数字保持很小，答案也是精确的。
**质因数（prime factor）**是本身为质数的因数，例如 2、3、5、7。大于 1 的每个整数都只有一种写成质数乘积的方式，例如 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5。
逐步化简的方法
- 把算式里的每个数写成质数的乘积，可用因数树或连续短除。
- 把分子和分母对齐，质数重复时用指数表示。
- 约掉两边都有的质数。 指数相减：分子 2⁴、分母 2² 约后剩下 2²。
- 把剩下的部分相乘，得到化简后的值。
- 用粗略估算检查一下，确认答案大小合理。
约分只适用于整个分子和整个分母的因数。处在加法或减法里面的数，并不是整个式子的因数。
例题详解
化简 (48 × 35) / (14 × 30)。
第一步，质因数分解： 48 = 2⁴ × 3，35 = 5 × 7，14 = 2 × 7，30 = 2 × 3 × 5。
第二步，对齐： 分子是 2⁴ × 3 × 5 × 7。分母是 2 × 7 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 × 7。
第三步，约分： 3、5、7 两边都有，约掉。至于 2，2⁴ 除以 2² 剩下 2²。
第四步，相乘： 2² = 4。
检查： 48 × 35 = 1680，14 × 30 = 420，1680 ÷ 420 = 4。两种方法结果一致，而因数法根本不需要算那些大乘积。
要留意的错误
常见的失误是约掉只属于加法中一部分的数。
错误答案： (20 + 8) / 4 = 20 + 2 = 22
学生只把 8 除以 4，20 原封不动。
分子是一个和，所以 4 必须除整个分子。
正确的写法是 (20 + 8) / 4 = 28 / 4 = 7。或者先因式分解：(4 × 5 + 4 × 2) / 4 = 4 × (5 + 2) / 4 = 5 + 2 = 7。先把分子因式分解，约分才合法。
自我检测
先不用计算器试做，再打开答案核对。
1. 化简 (72 × 25) / (30 × 36)。
查看答案
72 = 2³ × 3²，25 = 5²，30 = 2 × 3 × 5，36 = 2² × 3²。分子是 2³ × 3² × 5²，分母是 2³ × 3³ × 5。约分后分子剩 5，分母剩 3。
5/3。检查：72 × 25 = 1800，30 × 36 = 1080，1800/1080 = 5/3。
2. 把 84 和 126 写成质数的乘积，再求它们的 HCF 和 LCM。
查看答案
84 = 2² × 3 × 7，126 = 2 × 3² × 7。HCF 取每个共有质数较小的指数：2 × 3 × 7 = 42。LCM 取较大的指数：2² × 3² × 7 = 252。
检查：42 × 252 = 10 584，84 × 126 = 10 584。
3. 化简 (15 + 35) / 5。
查看答案
分子是和，所以要整个除：50 / 5 = 10。或先因式分解：5 × (3 + 7) / 5 = 3 + 7 = 10。如果只约 35，会得到 15 + 7 = 22，这是错的。
下一步
当约分变得可靠后，继续学习不靠小数四舍五入处理分数，再用数感练习题组检测整个单元。无计算器运算训练能让你用精确值检查约分的步骤。
学生在课堂上往往能跟上每一步约分，但只要式子里出现加法就会犹豫。数学线上一对一补习的老师可以指出犹豫从哪一行开始。