不靠小数四舍五入处理分数

分数的加、减、乘、除都可以完全不转成小数来做。每一步都保持精确值，只在最后需要时才转换。

这项技能属于数感与精确运算。它还会出现在比例、概率、代数分式和三角学中，而这些地方常常要求不用计算器作答。

为什么精确分数比小数更稳妥？

以 1/3 为例。写成小数是 0.3333，永远写不完，所以你必须在某处截断。如果写成 0.33 再乘以 3，得到的是 0.99，不是 1。

分数就没有这个问题：1/3 × 3 每次都等于 1。这就是为什么要求精确答案的题目会奖励分数的做法。

分数运算的步骤

1. 把带分数换成假分数（improper fraction）。 2 1/4 变成 9/4，因为 2 × 4 + 1 = 9。
2. 加减： 找公分母，把两个分数改写，然后只对分子做加减。
3. 乘法： 分子乘分子，分母乘分母。先约去公因数，让数字保持小。
4. 除法： 把第二个分数倒过来，再相乘。
5. 化简到最简分数；如果题目用带分数，就再换回带分数。

例题详解

计算 1 1/3 × 2 1/4 − 5/6，答案写成带分数。

第一步，换成假分数： 1 1/3 = 4/3，2 1/4 = 9/4。

第二步，先乘： 4/3 × 9/4 = (4 × 9) / (3 × 4)。约去 4 和 4，再把 3 与 9 约分，结果是 3。

第三步，相减： 3 − 5/6 = 18/6 − 5/6 = 13/6。

第四步，换成带分数： 13 ÷ 6 = 2 余 1，所以答案是 2 1/6。

检查： 用小数，1.3333 × 2.25 = 3.0，3 − 0.8333 = 2.1667，与 2 1/6 吻合。分数的做法既精确，数字也更小。

要留意的错误

非常常见的失误是把分子和分母分别相加。

错误答案： 2/3 + 3/4 = 5/7

学生把分子 2 + 3，分母 3 + 4。

做个快速的合理性检查就能发现。2/3 约为 0.67，3/4 是 0.75，所以和应该大于 1，但 5/7 小于 1。一个和不可能比它的某个部分还小。

正确的做法是用公分母：2/3 = 8/12，3/4 = 9/12，所以 8/12 + 9/12 = 17/12，也就是 1 5/12。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 计算 5/6 − 3/8。

2. 计算 3/4 ÷ 9/10。

3. 计算 2 1/2 × 1 3/5，给出精确答案。

下一步

掌握精确分数后，继续学习比较精确答案与近似答案，判断何时保留分数、何时取近似值。之后数感练习题组会把各项技能混合起来考，而无计算器运算训练能让你用精确值测试分数的步骤。

有些学生每条分数规则都看得懂，但在压力下仍会选错规则。这正是数学线上一对一补习的老师会在你的书写步骤里寻找的模式。