这套练习有十二道原创题，由易到难，涵盖直角三角形三角学的五个课时。第 1 至 3 题是热身，第 4 至 8 题练准确度，第 9 至 12 题混合各项技能。除非另有说明，长度取 3 位有效数字，角度取 1 位小数。
请使用角度模式的计算器，每题都画出三角形。先在纸上做，像考试一样写出步骤，然后再看答案。做错的题目请用末尾的对应表，也可以用三角形与方位角推理板或错题记录与重测队列继续跟进。
题目
1. 一个直角三角形的三边是 5 cm、12 cm、13 cm。角 θ 在 5 cm 那条边的对面。把 sin θ、cos θ、tan θ 写成分数。
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斜边是最长的边，13 cm。θ 的对边是 5 cm，所以邻边是 12 cm。
sin θ = O/H = 5/13，cos θ = A/H = 12/13，tan θ = O/A = 5/12。
2. 在直角三角形中，54° 的角，斜边是 6.5 cm。求 54° 角的对边。
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对边和斜边，用正弦：sin 54° = x/6.5。
x = 6.5 × sin 54° = 6.5 × 0.8090 = 5.2586…，即 5.26 cm。
检查：5.26 小于 6.5。✓
3. 37° 的角，斜边是 8.2 cm。求邻边。
显示答案
邻边和斜边，用余弦：cos 37° = x/8.2。
x = 8.2 × 0.7986 = 6.5488…，即 6.55 cm。
检查：小于 8.2。✓
4. 63° 的角，邻边是 5 cm。求对边。
显示答案
对边和邻边，用正切：tan 63° = x/5。
x = 5 × tan 63° = 5 × 1.9626 = 9.813…，即 9.81 cm。
检查：63° 比 45° 陡，所以对边应比邻边长。9.81 大于 5。✓
5. 48° 的角，对边是 11 cm。求斜边。
显示答案
对边和斜边，用正弦：sin 48° = 11/H。
H = 11 ÷ sin 48° = 11 ÷ 0.7431 = 14.80…，即 14.8 cm。
检查：斜边比 11 cm 的直角边长。✓
6. 35° 的角，对边是 13 cm。求邻边。
显示答案
对边和邻边，用正切：tan 35° = 13/x。
x = 13 ÷ tan 35° = 13 ÷ 0.7002 = 18.57…，即 18.6 cm。
检查：35° 小于 45°，所以邻边应比对边长。18.6 大于 13。✓
7. 对边是 5 cm，邻边是 8 cm。求角 θ。
显示答案
tan θ = 5/8 = 0.625。
θ = tan⁻¹(0.625) = 32.005…，即 32.0°。
检查：对边比邻边短，所以角小于 45°。✓
8. 邻边是 6 cm，斜边是 11 cm。求角 θ。
显示答案
cos θ = 6/11。
θ = cos⁻¹(6/11) = 56.94…，即 56.9°。
检查：6 略多于 11 的一半，而 cos 60° = 0.5，所以角应略小于 60°。✓
9. 一个长方形长 15 cm，宽 8 cm。求对角线的长度，再求对角线与 15 cm 那条边的夹角。
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对角线是斜边：d² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289，所以 d = 17 cm。
夹角 θ 在 8 cm 那条边的对面，邻接 15 cm 那条边：tan θ = 8/15，θ = tan⁻¹(8/15) = 28.07…，即 28.1°。
检查：sin θ = 8/17，sin⁻¹(0.4706) = 28.1°。✓
10. 一个直角三角形的两条直角边是 9 cm 和 12 cm。求斜边和较小的角。
显示答案
斜边：√(81 + 144) = √225 = 15 cm。
较小的角在较短直角边（9 cm）的对面：tan θ = 9/12 = 0.75，所以 θ = 36.9°。
检查：sin θ = 9/15 = 0.6，sin⁻¹(0.6) = 36.9°。✓
11. 一名学生站在离塔底 40 m 处。她的眼睛离平地 1.6 m，塔顶的仰角是 28°。求塔的高度。
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高出眼睛的部分：tan 28° = h/40，所以 h = 40 × 0.5317 = 21.27… m。
加上眼睛的高度：21.27 + 1.6 = 22.87… m，所以塔高 22.9 m。
检查：如果只算到眼睛的高度，得到 21.3 m，就漏掉了那 1.6 m。
12. 一把 5 m 长的梯子靠在竖直的墙上，梯脚离墙 1.4 m。求梯子顶端的高度，以及梯子与地面的夹角。
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高度：h² = 5² − 1.4² = 25 − 1.96 = 23.04，所以 h = √23.04 = 4.8 m。
与地面的夹角：cos θ = 1.4/5 = 0.28，所以 θ = cos⁻¹(0.28) = 73.74…，即 73.7°。
检查：sin 73.7° = 0.96，而 4.8 ÷ 5 = 0.96。✓
做错了怎么办？
| 哪里出错 | 回到 |
|---|---|
| 选错比值，或混淆对边与邻边（第 1 至 6 题） | 根据所给的边选择正弦、余弦或正切 |
| 角的答案小得离谱，或变成弧度（第 7、8 题） | 用正确的模式求未知角 |
| 忘了勾股定理，或过早取整（第 9、10、12 题） | 把勾股定理与三角学结合 |
| 漏了眼睛的高度，或三角形画错（第 11 题） | 读懂仰角图形 |
| 答案比斜边还长，或没有检查 | 用几何性质检查三角形的解答 |
如果某一组题目都觉得不稳，先重做表中指出的课时，几天后再试一道新题。
第 4 题和第 6 题显示了三角学为什么需要图形：两题都用正切，但未知量所在的位置不同。线上一对一数学补习中的老师能从你的解题过程里看到那个瞬间，并帮你纠正。免计算器演算训练器适合练习 5/13 和 9/12 这样的精确分数。