Apabila satu kedudukan dalam susunan mempunyai syarat, isi kedudukan itu dahulu, kemudian isi yang lain. Ini memastikan bilangan pilihan bagi setiap kedudukan jelas, dan ia cara paling boleh dipercayai untuk mengelak pengiraan berlebihan atau terkurang dalam pilih atur dan gabungan.
Pelajaran ini menyambung menentukan sama ada tertib penting, kerana setiap contoh di sini ialah susunan bertertib.
Bagaimana mengisi kedudukan terhad dahulu berfungsi?
Bayangkan setiap kedudukan sebagai satu kotak, dan tulis bilangan pilihan di atas setiap kotak. Darabkan semuanya.
- Lukis kotak, satu bagi setiap kedudukan.
- Cari kotak yang dihadkan (digit terakhir genap, orang yang mesti di hadapan, huruf yang mesti di tengah).
- Isi kotak itu dahulu, dengan mengira pilihan yang memenuhi syarat sahaja.
- Isi kotak lain dari kiri ke kanan, dengan mengurangkan pilihan setiap kali kerana item tidak boleh digunakan semula.
- Darabkan.
Jika satu item ditetapkan pada satu kedudukan dan semua item berbeza, n − 1 item lain disusun dengan bebas: (n − 1)!.
Contoh berlangkah
Berapakah bilangan nombor genap 4 digit yang boleh dibentuk daripada digit 1 hingga 9, jika tiada digit boleh digunakan lebih daripada sekali?
Langkah 1, kotak: ada 4 kotak. Digit terakhir mesti genap.
Langkah 2, kotak terhad dahulu: digit genap yang ada ialah 2, 4, 6 dan 8, jadi ada 4 pilihan untuk kotak terakhir.
Langkah 3, kotak lain: 8 digit tinggal untuk kotak pertama, 7 untuk kotak kedua dan 6 untuk kotak ketiga.
Langkah 4, darab:
4 × 8 × 7 × 6 = 4 × 336 = 1344
Semakan (jalan lain): kira nombor genap sebagai jumlah tolak nombor ganjil. Jumlah = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024. Nombor ganjil: 5 digit ganjil untuk kotak terakhir, kemudian 8 × 7 × 6 = 336, jadi 5 × 336 = 1680. Maka 3024 − 1680 = 1344. Kedua-dua jalan sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah mengisi kotak dari kiri ke kanan dan hanya memikirkan syarat pada akhir.
Jawapan salah: 9 × 8 × 7 × 4 = 2016
Pelajar mengisi tiga tempat pertama dengan bebas kemudian berkata “4 digit genap untuk yang terakhir”.
Ini salah kerana tiga tempat pertama mungkin sudah menggunakan sebahagian digit genap. Bilangan yang tinggal untuk kotak terakhir bergantung pada apa yang berlaku lebih awal, jadi tiada satu nilai 4 yang tetap. Mengisi kotak terakhir dahulu menghapuskan masalah itu.
Pembetulan: kotak terakhir 4 cara, kemudian 8 × 7 × 6, memberi 1344.
Semak sendiri
1. Lima orang berdiri dalam satu barisan. Seorang tertentu mesti berdiri di tengah. Berapakah bilangan susunan?
Lihat jawapan
Tengah sudah tetap, jadi 4 orang lain mengisi 4 tempat lain dengan bebas: 4! = 24.
2. Berapakah bilangan nombor ganjil 4 digit yang boleh dibentuk daripada digit 1 hingga 7, tanpa ulangan digit?
Lihat jawapan
Digit terakhir mesti ganjil: 1, 3, 5 atau 7, jadi 4 pilihan. Kemudian 6 × 5 × 4 untuk kotak lain. 4 × 6 × 5 × 4 = 480.
3. 5 huruf bagi perkataan MATHS disusun dalam satu baris, dengan setiap huruf digunakan sekali. Berapakah bilangan susunan yang bermula dengan konsonan?
Lihat jawapan
Hanya A ialah vokal, jadi ada 4 konsonan untuk kotak pertama. 4 huruf lain mengisi 4 tempat dalam 4! = 24 cara. 4 × 24 = 96.
Semakan: jumlah 5! = 120, dan susunan yang bermula dengan A ialah 24, jadi 120 − 24 = 96.
Ke mana selepas ini
Seterusnya, lihat bagaimana syarat berfungsi apabila anda memilih kumpulan dan bukan menyusunnya, dalam mengira pemilihan dengan syarat. Kemudian cuba set latihan campuran.
Pelajar yang mengikuti kaedah kotak di dalam kelas kadangkala masih bermula dengan kotak yang salah dalam soalan baharu. Guru dalam tuisyen Matematik Tambahan satu dengan satu dalam talian boleh melatih langkah pertama itu bersama anda sehingga ia menjadi automatik.