Sesuatu kaedah pengiraan mengira berlebihan apabila kesudahan akhir yang sama boleh dihasilkan oleh lebih daripada satu urutan pilihan, jadi ia dikira lebih daripada sekali. Untuk menerangkannya, namakan satu kesudahan yang dikira lebih daripada sekali dan nyatakan berapa kali. Kemahiran penaakulan ini melengkapkan pilih atur dan gabungan, dan ia datang selepas menggunakan pelengkap kerana kaedah itu ialah alternatif yang betul dalam contoh di bawah.
Bagaimana menguji kaedah yang dicadangkan?
- Baca kaedah itu sebagai kisah pilihan. Apa dipilih dahulu, apa kemudian?
- Tanya sama ada tertib memilih mewujudkan pertindihan. Jika satu kumpulan boleh dibina dalam dua tertib pemilihan berbeza, ia dikira dua kali.
- Cari satu kesudahan tertentu yang muncul lebih daripada sekali, dan kira berapa kali.
- Sahkan dengan semakan kecil atau dengan mencari jawapan yang betul melalui jalan lain.
Contoh berlangkah
Satu jawatankuasa 3 orang dipilih daripada 6 murid lelaki dan 4 murid perempuan. Seorang pelajar mencadangkan kaedah ini bagi “sekurang-kurangnya seorang perempuan”: pilih 1 perempuan dahulu (4 cara), kemudian pilih mana-mana 2 orang lain daripada 9 orang yang tinggal (9C2 = 36 cara). Jawapan yang dicadangkan ialah 4 × 36 = 144. Terangkan mengapa ini salah dan cari jawapan yang betul.
Cari kesudahan yang berulang. Ambil jawatankuasa {Perempuan 1, Perempuan 2, Lelaki 1}. Kaedah itu mengiranya sekali apabila Perempuan 1 dipilih dahulu dan Lelaki 1 serta Perempuan 2 ialah “yang lain”, dan sekali lagi apabila Perempuan 2 dipilih dahulu. Jadi ia dikira dua kali. Jawatankuasa dengan 3 perempuan dikira 3 kali, sekali bagi setiap perempuan yang boleh menjadi “yang pertama”.
Kira untuk menyemak 144.
| Perempuan dalam jawatankuasa | Jawatankuasa | Bilangan kali dikira | Sumbangan |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 × 6C2 = 60 | 1 | 60 |
| 2 | 4C2 × 6 = 36 | 2 | 72 |
| 3 | 4C3 = 4 | 3 | 12 |
60 + 72 + 12 = 144. Jadual ini mengesahkan jawapan kaedah itu dan menunjukkan dengan tepat dari mana lebihan datang.
Jawapan betul: bilangan sebenar jawatankuasa ialah 60 + 36 + 4 = 100. Dengan pelengkap: 10C3 − 6C3 = 120 − 20 = 100. Kedua-dua jalan sepadan.
Penjelasan dalam satu ayat: jawatankuasa dengan lebih daripada seorang perempuan dikira sekali bagi setiap perempuan yang boleh dipilih dahulu, jadi jumlahnya terlalu besar.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menerima kaedah itu kerana setiap langkah kedengaran munasabah.
Penaakulan salah: “Kita perlukan sekurang-kurangnya seorang perempuan, jadi kita pilih seorang perempuan dahulu untuk memastikannya. Kemudian yang lain boleh sesiapa sahaja. Itu meliputi setiap kes.”
Logik ini memastikan seorang perempuan hadir, tetapi tidak menjadikan setiap jawatankuasa muncul sekali sahaja. Pembetulannya ialah menguji dengan jawatankuasa tertentu yang mempunyai dua perempuan dan melihat bahawa ia muncul dua kali.
Semak sendiri
1. Satu kaedah memilih pasangan daripada 7 orang memilih orang pertama (7 cara) kemudian orang kedua (6 cara), memberi 42. Terangkan kesilapan dan beri bilangan yang betul.
Lihat jawapan
Pasangan {Ali, Bala} timbul sebagai Ali kemudian Bala dan sebagai Bala kemudian Ali, jadi setiap pasangan dikira dua kali. Betul: 42 / 2 = 21, iaitu 7C2.
2. Satu jawatankuasa 4 orang dipilih daripada 5 lelaki dan 4 perempuan. Untuk mencari bilangan dengan sekurang-kurangnya 2 perempuan, seorang pelajar memilih 2 perempuan (4C2 = 6 cara) kemudian mana-mana 2 orang daripada 7 orang lain (21 cara), memberi 126. Terangkan kesilapan dan cari bilangan yang betul.
Lihat jawapan
Jawatankuasa dengan 3 perempuan dikira 3 kali (mana-mana 2 daripada 3 perempuan boleh menjadi pasangan yang “dipilih”), dan jawatankuasa dengan 4 perempuan dikira 6 kali.
Bilangan betul: 2 perempuan dan 2 lelaki: 6 × 10 = 60. 3 perempuan dan 1 lelaki: 4 × 5 = 20. 4 perempuan: 1. Jumlah = 81.
Semakan dengan pelengkap: 9C4 − 5C4 − 4 × 5C3 = 126 − 5 − 40 = 81.
3. Lima orang duduk dalam satu baris, dan A serta B mesti duduk bersama. Seorang pelajar menganggap AB sebagai satu blok dan menyusun 4 objek, memberi 4! = 24. Adakah ini terlalu besar atau terlalu kecil, dan apakah jawapan yang betul?
Lihat jawapan
Ia terlalu kecil. Blok itu boleh AB atau BA, jadi kiraan mesti didarab dengan 2. Betul: 24 × 2 = 48.
Ke mana selepas ini
Kerjakan set latihan campuran, yang beberapa soalannya meminta anda menilai kaedah yang dicadangkan. Anda juga boleh kembali ke gambaran keseluruhan modul untuk melihat bagaimana lima pelajaran ini berkait.
Menerangkan mengapa sesuatu kaedah gagal ialah kemahiran berbeza daripada mendapat jawapan, dan sukar dilatih bersendirian. Tuisyen Matematik Tambahan satu dengan satu dalam talian kami memberi anda seorang guru untuk menerangkan kepadanya dan menyemak bahawa penaakulan anda lengkap.