Sebelas soalan ini meliputi keseluruhan pilih atur dan gabungan, disusun daripada mudah kepada lebih sukar. Semua soalan adalah asal, dan kalkulator tidak diperlukan jika anda membatalkan dengan teliti. Semak panduan sukatan pelajaran Cambridge Additional Mathematics 0606 bagi tahun peperiksaan anda tentang penggunaan kalkulator.
Cara menggunakannya: tulis satu baris sama ada tertib penting sebelum anda mengira. Cuba setiap soalan di atas kertas, kemudian buka jawapan dan bandingkan kaedah serta nombornya. Catat sebarang kesilapan dalam log kesilapan dan baris gilir ujian semula, dan gunakan pelatih kerja tanpa kalkulator jika pembatalan terasa perlahan.
Soalan
1. Nilaikan 7P3 dan 7C3.
Lihat jawapan
7P3 = 7 × 6 × 5 = 210. 7C3 = 210 / 3! = 210 / 6 = 35.
Semakan: 35 × 6 = 210, jadi nPr = nCr × r! benar.
2. Sebuah kelas 10 pelajar memerlukan (a) seorang pengawas dan seorang penolong pengawas, dan (b) dua pelajar untuk menghadiri bengkel. Cari bilangan cara bagi setiap satu.
Lihat jawapan
(a) Dua jawatan berbeza, jadi tertib penting: 10P2 = 10 × 9 = 90.
(b) Dua pelajar itu mempunyai peranan yang sama, jadi tertib tidak penting: 10C2 = 90 / 2 = 45.
Semakan: 45 × 2 = 90.
3. Enam buku berbeza diletakkan di atas rak. Cari bilangan susunan (a) tanpa syarat, dan (b) dengan buku Matematik di hujung kiri.
Lihat jawapan
(a) 6! = 720.
(b) Buku Matematik ditetapkan, jadi 5 buku lain disusun dengan bebas: 5! = 120.
Semakan: buku Matematik boleh berada di mana-mana daripada 6 kedudukan dengan sama rata, dan 720 / 6 = 120.
4. Berapakah bilangan nombor ganjil 3 digit yang boleh dibentuk daripada digit 1 hingga 6, tanpa ulangan digit?
Lihat jawapan
Isi digit terakhir dahulu. Ia mesti ganjil: 1, 3 atau 5, jadi 3 pilihan. Kemudian 5 pilihan untuk digit pertama dan 4 untuk digit kedua.
3 × 5 × 4 = 60.
Semakan: jumlah nombor 3 digit ialah 6 × 5 × 4 = 120, dan separuh daripadanya ganjil, jadi 60.
5. Satu jawatankuasa 5 orang dipilih daripada 7 lelaki dan 6 perempuan. Berapakah bilangan jawatankuasa dengan tepat 3 perempuan?
Lihat jawapan
3 perempuan dan 2 lelaki: 6C3 × 7C2 = 20 × 21 = 420.
Semakan: 6C3 = (6 × 5 × 4) / 6 = 20. 7C2 = (7 × 6) / 2 = 21. 20 × 21 = 420.
6. Satu pasukan 4 orang dipilih daripada 10 pemain, dan kapten, Dev, mesti berada dalam pasukan. Berapakah bilangan pasukan yang mungkin?
Lihat jawapan
Letakkan Dev, kemudian pilih 3 lagi daripada 9 orang lain: 9C3 = (9 × 8 × 7) / 6 = 504 / 6 = 84.
Semakan: setiap daripada 10C4 = 210 pasukan mempunyai 4 ahli, jadi Dev berada dalam 210 × 4 / 10 = 84 daripadanya.
7. Enam orang berdiri dalam satu barisan. Dalam berapa susunan A dan B bersebelahan?
Lihat jawapan
Anggap A dan B sebagai satu blok. 5 objek boleh disusun dalam 5! = 120 cara, dan A serta B boleh bertukar tempat dalam blok dalam 2 cara.
120 × 2 = 240.
Semakan: A dan B bersebelahan dalam 5 pasangan kedudukan yang mungkin, dan ada 2 tertib, jadi 10 cara meletakkan mereka. 4 orang lain mengisi tempat yang tinggal dalam 4! = 24 cara. 10 × 24 = 240.
8. Satu kumpulan 4 orang dipilih daripada 5 murid lelaki dan 7 murid perempuan. Berapakah bilangan kumpulan yang mengandungi sekurang-kurangnya seorang lelaki?
Lihat jawapan
Gunakan pelengkap. Jumlah: 12C4 = (12 × 11 × 10 × 9) / 24 = 11 880 / 24 = 495. Tiada lelaki, jadi kesemua 4 daripada 7 perempuan: 7C4 = 35.
495 − 35 = 460.
Semakan (terus): 1 lelaki 5 × 35 = 175. 2 lelaki 10 × 21 = 210. 3 lelaki 10 × 7 = 70. 4 lelaki 5. Jumlah = 175 + 210 + 70 + 5 = 460.
9. Tujuh orang berdiri dalam satu barisan. Dalam berapa cara P dan Q tidak bersebelahan?
Lihat jawapan
Jumlah 7! = 5040. P dan Q bersebelahan: 6! × 2 = 720 × 2 = 1440.
5040 − 1440 = 3600.
Semakan (jurang): susun 5 orang lain dalam 5! = 120 cara, yang meninggalkan 6 jurang. P dan Q masuk ke dua jurang berbeza dalam 6 × 5 = 30 cara. 120 × 30 = 3600.
10. Satu kumpulan 4 orang dipilih daripada 5 murid lelaki dan 4 murid perempuan. Seorang pelajar berkata bilangan kumpulan dengan sekurang-kurangnya seorang perempuan ialah 4 × 8C3 = 224, dengan memilih seorang perempuan dahulu kemudian mana-mana 3 daripada 8 orang lain. Terangkan kesilapan, kemudian cari jawapan yang betul.
Lihat jawapan
Kesilapan: kumpulan dengan dua perempuan dikira dua kali (sekali bagi setiap perempuan yang dipilih dahulu), dengan tiga perempuan tiga kali, dan dengan empat perempuan empat kali.
Semakan 224: 1 perempuan 4 × 10 = 40, dikira sekali = 40. 2 perempuan 6 × 10 = 60, dikira dua kali = 120. 3 perempuan 4 × 5 = 20, dikira tiga kali = 60. 4 perempuan 1, dikira empat kali = 4. Jumlahnya 40 + 120 + 60 + 4 = 224, yang mengesahkan punca kesilapan.
Jawapan betul: 9C4 − 5C4 = 126 − 5 = 121.
Semakan: 40 + 60 + 20 + 1 = 121.
11. Berapakah bilangan nombor genap 4 digit yang boleh dibentuk daripada digit 0 hingga 9 tanpa ulangan digit dan tanpa sifar di hadapan?
Lihat jawapan
Pecahkan mengikut digit terakhir, kerana 0 berkelakuan berbeza.
Digit terakhir 0: tiga tempat lain menggunakan 9 digit bukan sifar: 9 × 8 × 7 = 504.
Digit terakhir 2, 4, 6 atau 8 (4 pilihan): digit pertama tidak boleh 0 atau digit terakhir, jadi 8 pilihan. Digit kedua ada 8 pilihan (sifar kini dibenarkan, dan dua digit telah digunakan). Digit ketiga ada 7. Jadi 4 × 8 × 8 × 7 = 1792.
Jumlah = 504 + 1792 = 2296.
Semakan (pelengkap): nombor tanpa sifar di hadapan dan tanpa ulangan: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536. Yang ganjil: digit terakhir ada 5 pilihan, digit pertama 8, kedua 8, ketiga 7, jadi 5 × 8 × 8 × 7 = 2240. Maka 4536 − 2240 = 2296.
Jika anda tersalah
Padankan kesilapan anda dengan pelajaran yang membetulkannya.
| Apa yang salah | Soalan | Pergi ke |
|---|---|---|
| Guna nPr untuk kumpulan, atau nCr untuk tugas bertertib | 1, 2 | Tentukan sama ada tertib penting |
| Syarat pada satu kedudukan digunakan terlalu lewat | 3, 4, 11 | Kira susunan dengan kedudukan tetap |
| Menambah dan bukan mendarab, atau tertinggal satu kes | 5, 6, 8 | Kira pemilihan dengan syarat |
| Senarai kes yang panjang, bersebelahan dan tidak bersebelahan | 7, 8, 9 | Gunakan pelengkap untuk memudahkan pengiraan |
| Kaedah kedengaran betul tetapi memberi nombor yang terlalu besar | 10 | Terangkan pengiraan berlebihan dalam kaedah yang dicadangkan |
Kembali ke gambaran keseluruhan modul jika anda mahu urutan belajar sekali lagi. Guru dalam tuisyen Matematik Tambahan satu dengan satu dalam talian boleh meneliti percubaan anda dan membantu anda memilih pelajaran mana untuk diulang dahulu.