Kaedah pelengkap mengira kesudahan yang anda tidak kehendaki dan menolaknya daripada jumlah: dikehendaki = jumlah − tidak dikehendaki. Ia berkesan apabila “tidak dikehendaki” ialah satu kes mudah tetapi “dikehendaki” ialah senarai yang panjang. Pemilihan dan susunan dalam pilih atur dan gabungan kedua-duanya boleh menggunakannya.
Pelajaran ini membina di atas mengira pemilihan dengan syarat, yang mencari jawapan serupa dengan menambah kes.
Bila anda patut menggunakan pelengkap?
Cari frasa ini:
- sekurang-kurangnya satu (pelengkapnya ialah tiada),
- tidak bersebelahan (pelengkapnya ialah bersebelahan),
- tidak semuanya sama (pelengkapnya ialah semuanya sama),
- paling banyak dengan had atas yang besar.
Kemudian ikut tiga langkah: kira jumlah tanpa syarat, kira kesudahan yang tidak dikehendaki, kemudian tolak.
Contoh berlangkah 1: pemilihan
Satu jawatankuasa 4 orang dipilih daripada 6 lelaki dan 5 perempuan. Cari bilangan jawatankuasa dengan sekurang-kurangnya seorang perempuan.
Jumlah: 11C4 = (11 × 10 × 9 × 8) / 24 = 7920 / 24 = 330.
Tidak dikehendaki (tiada perempuan, jadi 4 lelaki): 6C4 = 15.
Jawapan: 330 − 15 = 315.
Semakan (terus): 1 perempuan: 5 × 6C3 = 5 × 20 = 100. 2 perempuan: 5C2 × 6C2 = 10 × 15 = 150. 3 perempuan: 5C3 × 6 = 10 × 6 = 60. 4 perempuan: 5C4 = 5. Hasil tambahnya 100 + 150 + 60 + 5 = 315. Kedua-dua jawapan sepadan, dan pelengkap hanya mengambil dua baris berbanding empat kes.
Contoh berlangkah 2: susunan
Enam orang berdiri dalam satu barisan. Cari bilangan susunan yang A dan B tidak bersebelahan.
Jumlah: 6! = 720.
Tidak dikehendaki (A dan B bersebelahan): anggap A dan B sebagai satu blok. Ada 5 objek, disusun dalam 5! = 120 cara, dan A serta B boleh bertukar tempat dalam blok dalam 2 cara. Jadi 120 × 2 = 240.
Jawapan: 720 − 240 = 480.
Semakan (kaedah jurang): susun 4 orang lain dalam 4! = 24 cara. Ini meninggalkan 5 jurang, dan A serta B masuk ke dua jurang berbeza dalam 5 × 4 = 20 cara. Jadi 24 × 20 = 480. Kedua-dua jawapan sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menggunakan pelengkap yang salah bagi “sekurang-kurangnya satu”.
Soalan: Kira jawatankuasa dalam contoh 1 dengan sekurang-kurangnya seorang perempuan.
Jawapan salah: 330 − 5C4 = 330 − 5 = 325
Pelajar menolak jawatankuasa yang semuanya perempuan, bukan yang tiada perempuan.
“Sekurang-kurangnya seorang perempuan” gagal hanya apabila tiada perempuan, iaitu 4 lelaki. Pembetulannya 330 − 6C4 = 330 − 15 = 315.
Semak sendiri
1. Satu kumpulan 5 orang dipilih daripada 4 murid lelaki dan 5 murid perempuan. Berapakah bilangan kumpulan dengan sekurang-kurangnya seorang lelaki?
Lihat jawapan
Jumlah 9C5 = 126. Tiada lelaki bermaksud kesemua 5 perempuan: 5C5 = 1. Jadi 126 − 1 = 125.
2. Lima orang berdiri dalam satu barisan. Dalam berapa cara X dan Y tidak bersebelahan?
Lihat jawapan
Jumlah 5! = 120. Bersebelahan: 4! × 2 = 48. Jadi 120 − 48 = 72.
Semakan dengan jurang: 3 orang lain dalam 3! = 6 cara, 4 jurang, X dan Y ke jurang berbeza dalam 4 × 3 = 12 cara, dan 6 × 12 = 72.
3. Satu kod 4 digit menggunakan digit 0 hingga 9, dan digit boleh diulang. Berapakah bilangan kod yang mengandungi sekurang-kurangnya satu digit 7?
Lihat jawapan
Jumlah 10⁴ = 10 000. Kod tanpa 7 menggunakan 9 digit pada setiap tempat: 9⁴ = 6561. Jadi 10 000 − 6561 = 3439.
Ke mana selepas ini
Kemahiran terakhir dalam modul ini ialah menyemak sama ada kaedah yang dicadangkan mengira terlalu banyak: terangkan pengiraan berlebihan dalam kaedah yang dicadangkan. Anda juga boleh mencuba set latihan campuran. Pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk menyemak pembatalan faktorial anda.
Pelajar boleh faham idea pelengkap tetapi tidak perasan bila ia terpakai. Guru dalam tuisyen Matematik Tambahan satu dengan satu dalam talian boleh membantu anda membina tabiat menyemak soalan untuk frasa petunjuk itu.