Set ini melatih lima kemahiran dalam penyiasatan International Mathematics: menjana kes, membentuk konjektur, mencari contoh penyangkal, menerangkan dengan algebra dan menyatakan had. Soalan bergerak daripada mudah kepada lebih sukar. Tulis kerja penuh dan satu ayat kesimpulan bagi setiap soalan sebelum membuka jawapannya.
Jika soalan melibatkan perubahan peratusan berulang, penjelajah asas peratusan boleh membantu anda menjana kes. Gunakan pelatih kerja tanpa kalkulator untuk menyemak semula aritmetik kemudian.
Bahagian A: Menjana kes
S1. Enam pasukan bermain dalam kejohanan di mana setiap pasukan bermain dengan setiap pasukan lain sekali. Senaraikan perlawanan secara sistematik dan cari jumlahnya.
Lihat jawapan
Namakan pasukan A hingga F. A bermain dengan 5 pasukan lain, B bermain 4 lagi, C bermain 3 lagi, D bermain 2 lagi, E bermain 1 lagi.
Jumlah 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 perlawanan. Semak: 6 × 5 / 2 = 15.
S2. Satu baris n petak dibuat daripada batang mancis, dengan 4 batang untuk satu petak dan 7 untuk dua petak. Cari bilangan batang bagi 8 petak dengan membina jadual, kemudian semak dengan kaedah kedua.
Lihat jawapan
Setiap petak tambahan menambah 3 batang, jadi kiraannya 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 bagi n = 1 hingga 8.
Kaedah kedua: 8 petak mempunyai 9 batang menegak dan 16 batang mengufuk, dan 9 + 16 = 25. Jawapannya 25 batang.
S3. Satu pola mempunyai sebutan 7, 11, 15, 19 bagi n = 1 hingga 4. Cari satu peraturan dan sebutan bagi n = 25.
Lihat jawapan
Beza tetap 4, jadi peraturan bermula dengan 4n. Pada n = 1 kita perlukan 7, maka tambah 3: peraturan 4n + 3.
Semak: n = 4 memberi 19. Bagi n = 25: 4 × 25 + 3 = 103.
Bahagian B: Membentuk konjektur
S4. Hasil tambah n nombor ganjil pertama bagi n = 1 hingga 5 ialah 1, 4, 9, 16, 25. Nyatakan satu konjektur dan ramalkan hasil tambah bagi n = 12.
Lihat jawapan
Nilai-nilai itu ialah nombor kuasa dua sempurna, jadi konjekturnya ialah hasil tambah itu n².
Bagi n = 12, hasil tambahnya 144. Semak dengan berpasangan: 12 nombor ganjil 1 hingga 23 membentuk 6 pasangan yang masing-masing berjumlah 24, dan 6 × 24 = 144.
S5. Satu jadual memberi 3, 8, 15, 24 bagi n = 1 hingga 4. Bentuk konjektur bagi sebutan ke-n dan ramalkan n = 5.
Lihat jawapan
Bezanya 5, 7, 9, yang bertambah 2, jadi peraturannya kuadratik. Nilai sepadan dengan n(n + 2): 1 × 3, 2 × 4, 3 × 5, 4 × 6.
Bagi n = 5: 5 × 7 = 35. Semak dengan beza: beza seterusnya 11, dan 24 + 11 = 35.
Bahagian C: Contoh penyangkal
S6. Konjektur: jika n ialah nombor perdana ganjil, maka n + 2 juga perdana. Cari satu contoh penyangkal.
Lihat jawapan
n = 3 memberi 5 dan n = 5 memberi 7, kedua-duanya perdana. n = 7 memberi 9 = 3 × 3.
n = 7 ialah contoh penyangkal.
S7. Konjektur: bagi semua nombor positif a dan b, √(a + b) = √a + √b. Cari satu contoh penyangkal dengan nombor bulat.
Lihat jawapan
Ambil a = 9 dan b = 16. Maka √(9 + 16) = √25 = 5, tetapi √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
a = 9, b = 16 ialah contoh penyangkal, kerana 5 ≠ 7.
S8. Konjektur: jika n ialah nombor perdana, maka 2n − 1 ialah nombor perdana. Nilai bagi n = 2, 3, 5, 7 ialah 3, 7, 31, 127, semuanya perdana. Tunjukkan bahawa n = 11 ialah contoh penyangkal. (Petunjuk: cuba bahagi dengan 23.)
Lihat jawapan
211 = 2048, jadi 211 − 1 = 2047. Sekarang 23 × 89 = 23 × 90 − 23 = 2070 − 23 = 2047.
Jadi 2047 = 23 × 89 bukan nombor perdana, dan n = 11 ialah contoh penyangkal.
Bahagian D: Menerangkan dengan algebra
S9. Tunjukkan bahawa hasil tambah mana-mana tiga nombor genap berturutan ialah gandaan 6.
Lihat jawapan
Biarkan nombor itu 2n, 2n + 2, 2n + 4. Hasil tambahnya 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1).
Ini 6 darab nombor bulat, jadi ia gandaan 6. Semak: 10 + 12 + 14 = 36 = 6 × 6.
S10. Satu pola mempunyai sebutan 5, 8, 11, 14, yang mengikut 3n + 2. Tunjukkan bahawa 101 berada dalam pola itu dan 100 tidak.
Lihat jawapan
Tetapkan 3n + 2 = 101. Maka 3n = 99 dan n = 33, nombor bulat, jadi 101 ialah sebutan ke-33.
Tetapkan 3n + 2 = 100. Maka 3n = 98 dan n = 32.67, bukan nombor bulat, jadi 100 tidak berada dalam pola itu.
Bahagian E: Menyatakan had
S11. Seorang pelajar menyemak n² + n + 11 bagi n = 1 hingga 9 dan mendapat 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101, semuanya perdana. Pelajar itu menulis “jadi ia sentiasa perdana”. Cari satu contoh penyangkal dan tulis semula kesimpulan itu.
Lihat jawapan
Cuba n = 10: 100 + 10 + 11 = 121 = 11 × 11, yang bukan nombor perdana.
n = 10 ialah contoh penyangkal. Kesimpulan yang adil: “n² + n + 11 memberi nombor perdana bagi n = 1 hingga 9, tetapi tidak bagi n = 10, jadi ia bukan sentiasa perdana.”
Jika anda tersilap
Padankan jenis kesilapan dengan pelajaran, kemudian cuba soalan yang serupa beberapa hari kemudian.
| Apa yang tidak kena | Soalan | Pergi ke |
|---|---|---|
| Kiraan berselerak atau kes terlangkau | S1, S2, S3 | Jana kes sistematik |
| Peraturan tidak sepadan atau tidak diuji pada kes baharu | S4, S5 | Daripada kes yang diperhatikan kepada konjektur |
| Berhenti selepas kes yang sepadan, atau memilih nilai ujian yang tidak memenuhi syarat | S6, S7, S8 | Uji contoh penyangkal |
| Menulis bentuk algebra dengan salah, atau tidak menyatakan kesimpulan | S9, S10 | Terangkan peraturan am dengan algebra |
| Mendakwa “sentiasa” tanpa bukti | S11 | Nyatakan had kesimpulan |
Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan dan baris ujian semula supaya anda boleh kembali kepada jenis kesilapan yang sama kemudian. Kembali ke gambaran keseluruhan modul jika anda mahu susunan belajar sekali lagi.
Jika jenis kesilapan yang sama terus berulang, biasanya ia menunjuk kepada satu tabiat, bukan lima masalah berasingan. Guru boleh mencari tabiat itu semasa tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu.