Untuk menyatakan had kesimpulan, nyatakan kes yang anda uji, sama ada anda membuktikan peraturan itu, dan nilai yang didakwa dilitupinya, dan jangan mendakwa apa-apa melebihi itu. Pengungkapan yang tepat menukar pola yang anda temui kepada pernyataan matematik yang boleh dipercayai orang lain.
Ini ialah langkah terakhir laluan dalam penyiasatan International Mathematics. Ia menyusuli penerangan peraturan dengan algebra dan berkait dengan ujian contoh penyangkal.
Apakah tiga peringkat kesimpulan?
Kekuatan dakwaan anda bergantung pada bukti anda. Ada tiga peringkat yang wajar dinamakan.
| Peringkat | Apa yang anda lakukan | Cara menulisnya |
|---|---|---|
| Pemerhatian | Menyemak beberapa kes | “Peraturan sepadan bagi n = 1 hingga 5.” |
| Konjektur | Diuji juga pada kes baharu | “Saya membuat konjektur bahawa peraturan itu benar bagi n ≥ 1.” |
| Terbukti | Algebra atau hujah lengkap | “Ini benar bagi setiap n ≥ 1.” |
Hanya peringkat terakhir membenarkan “sentiasa” atau “bagi semua”. Dua peringkat pertama memerlukan perkataan “konjektur”, “nampaknya” atau julat yang dinyatakan.
Langkah demi langkah menyatakan had
- Senaraikan apa yang anda uji, contohnya n = 1 hingga 6.
- Nyatakan sama ada peraturan itu dibuktikan dan bagaimana, atau nyatakan bahawa ia konjektur.
- Nyatakan domain: nilai n yang bagi peraturan itu didakwa.
- Semak sempadan, biasanya kes terkecil, dan sebut sebarang pengecualian.
- Labelkan ramalan di luar bukti anda sebagai ramalan.
- Catat syarat dalam situasi itu, seperti titik dalam kedudukan am atau had fizikal.
Contoh berlangkah
Titik ditanda pada satu bulatan dan setiap pasangan disambung dengan perentas lurus. Perentas memotong bulatan kepada beberapa kawasan.
Titik diletakkan supaya tiada tiga perentas bertemu pada satu titik. Biarkan R ialah bilangan kawasan bagi n titik.
Langkah 1, jadual:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| R | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 31 |
Langkah 2, pemerhatian: bagi n = 1 hingga 5, nilai berganda setiap kali, yang sepadan dengan R = 2n−1. Bagi n = 6, peraturan itu meramalkan 32.
Langkah 3, banding dengan bukti: kiraan teliti bagi n = 6 memberi 31, bukan 32. Jadi R = 2n−1 gagal pada n = 6. Mengikut idea contoh penyangkal, konjektur itu palsu.
Langkah 4, kesimpulan yang jujur: “R = 2n−1 sepadan bagi n = 1 hingga 5 sahaja. Ia tidak benar bagi n = 6, jadi ia bukan peraturan am bagi bilangan kawasan.”
Pengajaran untuk penyiasatan anda sendiri: lima kes yang sepadan tidak mencukupi. Syarat tentang tiada tiga perentas bertemu juga penting, kerana sesetengah susunan enam titik memberi kawasan yang lebih sedikit, jadi dakwaan itu tentang titik yang diletakkan dalam kedudukan am.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan yang lazim ialah menulis kesimpulan yang melampaui bukti.
Kesimpulan yang salah: “Bilangan kawasan sentiasa 2n−1, seperti yang ditunjukkan oleh n = 1 hingga 5.”
“Sentiasa” tidak pernah diperoleh dengan sah, dan n = 6 menyangkalnya.
Pembetulannya ialah menyesuaikan pengungkapan dengan bukti. Bagi peraturan yang hanya sepadan dengan kes, tulis “nampaknya benar bagi n = 1 hingga 5”. Bagi peraturan yang mempunyai bukti, tulis “benar bagi semua n ≥ 1, kerana…” dan berikan sebabnya.
Semak kendiri
1. Satu petak n kali n dibina daripada jubin, dan hanya jubin sempadannya diwarnakan. Kiraan bagi n = 2 hingga 6 ialah 4, 8, 12, 16, 20. Seorang pelajar menulis 4n − 4. Apakah had yang patut dinyatakan pelajar itu, memandangkan n = 1 ialah satu jubin?
Lihat jawapan
Bagi n = 1, peraturan memberi 4 − 4 = 0, tetapi satu jubin itu ialah jubin sempadan, jadi kiraan sebenar ialah 1. Peraturan itu sah hanya bagi n ≥ 2.
Bagi n = 10 ia memberi 36, yang sepadan dengan 100 − 64 = 36 (jumlah jubin tolak petak dalam 8 × 8).
2. Seorang pelajar menguji peraturan bagi n = 1, 2, 3 dan 4, dan menulis “jadi ia benar bagi semua n”. Tulis semula kesimpulan itu dengan jujur.
Lihat jawapan
Contohnya: “Peraturan sepadan bagi n = 1 hingga 4. Saya membuat konjektur bahawa ia benar bagi semua n ≥ 1 tetapi saya belum membuktikannya.” Ini menyatakan bukti, dakwaan dan statusnya.
3. Hasil tambah n nombor ganjil pertama sepadan dengan n² bagi n = 1 hingga 5. Gunakannya untuk meramal hasil tambah bagi n = 30, dan nyatakan betapa boleh dipercayai ramalan itu.
Lihat jawapan
Ramalannya ialah 30² = 900.
Daripada pola sahaja, ia hanya ramalan. Ia menjadi pasti jika anda membuktikan peraturan itu, contohnya dengan hasil tambah siri aritmetik: n/2 × (1 + (2n − 1)) = n².
Ke mana selepas ini
Gabungkan kelima-lima langkah dalam set latihan penyiasatan. Jika anda mahu menyimpan rekod had yang terlupa dinyatakan, log kesilapan dan baris ujian semula ialah teman yang berguna, dan pelatih kerja tanpa kalkulator menyokong semakan nilai yang pantas.
Guru boleh membaca kesimpulan bertulis anda dan menunjukkan di mana pengungkapan mendakwa terlalu banyak atau terlalu sedikit. Maklum balas sebegitu ialah sebahagian daripada tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu.