这组练习训练International Mathematics 探究题里的五项技能：系统列举情形、提出猜想、寻找反例、用代数解释，以及说明适用范围。题目由易到难。每一题在打开答案之前，先写出完整的解题过程和一句结论。
如果题目涉及重复的百分比变化，百分比基数探索器可以帮你生成情形。之后可用免计算器步骤训练器再次核对算术。
A 部分：系统列举
Q1. 六支球队进行比赛，每支球队都与其他每支球队比赛一次。系统地列出比赛，并求总场数。
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把球队记为 A 到 F。A 与其他 5 队比赛，B 再与 4 队比赛，C 再 3 队，D 再 2 队，E 再 1 队。
总数 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 场。核对：6 × 5 / 2 = 15。
Q2. 用火柴棒摆成一排 n 个正方形，一个正方形用 4 根，两个正方形用 7 根。通过列表求 8 个正方形所需的火柴棒数，再用第二种方法核对。
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每多一个正方形加 3 根，所以 n = 1 到 8 的数量依次为 4、7、10、13、16、19、22、25。
第二种方法：8 个正方形有 9 根竖的和 16 根横的，9 + 16 = 25。答案是 25 根。
Q3. 一个规律在 n = 1 到 4 时的项为 7、11、15、19。求规则，以及 n = 25 时的项。
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差恒为 4，所以规则以 4n 开头。n = 1 时需要 7，所以加 3：规则为 4n + 3。
核对：n = 4 时得 19。n = 25 时：4 × 25 + 3 = 103。
B 部分：提出猜想
Q4. 前 n 个奇数之和，n = 1 到 5 时是 1、4、9、16、25。写出一个猜想，并预测 n = 12 时的和。
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这些值是平方数，所以猜想是：和等于 n²。
n = 12 时，和为 144。用配对核对：1 到 23 的 12 个奇数组成 6 对，每对的和是 24，6 × 24 = 144。
Q5. 一张表在 n = 1 到 4 时给出 3、8、15、24。对第 n 项提出猜想，并预测 n = 5。
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差是 5、7、9，每次增加 2，所以规则是二次的。各值符合 n(n + 2)：1 × 3、2 × 4、3 × 5、4 × 6。
n = 5 时：5 × 7 = 35。用差核对：下一个差是 11，24 + 11 = 35。
C 部分：反例
Q6. 猜想：如果 n 是奇质数，那么 n + 2 也是质数。找出一个反例。
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n = 3 得 5，n = 5 得 7，都是质数。n = 7 得 9 = 3 × 3。
n = 7 是反例。
Q7. 猜想：对所有正数 a 和 b，√(a + b) = √a + √b。用整数找出一个反例。
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取 a = 9，b = 16。则 √(9 + 16) = √25 = 5，但 √9 + √16 = 3 + 4 = 7。
a = 9，b = 16 是反例，因为 5 ≠ 7。
Q8. 猜想：如果 n 是质数，那么 2n − 1 是质数。n = 2、3、5、7 时的值是 3、7、31、127，都是质数。证明 n = 11 是反例。（提示：试试除以 23。）
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211 = 2048，所以 211 − 1 = 2047。而 23 × 89 = 23 × 90 − 23 = 2070 − 23 = 2047。
所以 2047 = 23 × 89 不是质数，n = 11 是反例。
D 部分：用代数解释
Q9. 证明任意三个连续偶数之和是 6 的倍数。
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设这三个数为 2n、2n + 2、2n + 4。和为 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1)。
这是 6 乘以一个整数，所以是 6 的倍数。核对： 10 + 12 + 14 = 36 = 6 × 6。
Q10. 一个规律的项为 5、8、11、14，遵循 3n + 2。证明 101 在这个规律中，而 100 不在。
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令 3n + 2 = 101。则 3n = 99，n = 33 是整数，所以 101 是第 33 项。
令 3n + 2 = 100。则 3n = 98，n = 32.67 不是整数，所以 100 不在这个规律中。
E 部分：说明适用范围
Q11. 一名学生对 n = 1 到 9 检验 n² + n + 11，得到 13、17、23、31、41、53、67、83、101，全是质数。学生写道“所以它总是质数”。找出一个反例，并改写这个结论。
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试 n = 10：100 + 10 + 11 = 121 = 11 × 11，不是质数。
n = 10 是反例。 一个合理的结论：“n² + n + 11 在 n = 1 到 9 时得到质数，但 n = 10 时不是，所以它并非总是质数。”
做错了怎么办
把错误的类型对应到相关的课，几天后再做一道类似的题。
| 哪里出了问题 | 题目 | 去看 |
|---|---|---|
| 数得混乱或跳过了情形 | Q1、Q2、Q3 | 系统地列举情形 |
| 规则不吻合，或没有用新情形检验 | Q4、Q5 | 从观察到的情形提出猜想 |
| 在吻合的情形后就停下，或选的检验值不符合条件 | Q6、Q7、Q8 | 用反例检验猜想 |
| 代数形式写错，或没有写出结论 | Q9、Q10 | 用代数解释一般规则 |
| 没有证明就声称“总是” | Q11 | 说明结论的适用范围 |
把每个失误记在错误记录与重测队列里，以后就能回头查看同一类错误。如果想再看一遍学习顺序，请回到模块总览。
如果同一类错误反复出现，通常是指向一个习惯，而不是五个各自独立的问题。老师可以在线上一对一数学补习中找出这个习惯。