Contoh penyangkal ialah satu kes yang memenuhi syarat sesuatu pernyataan tetapi menjadikan dakwaan akhirnya palsu. Satu contoh penyangkal yang sah menolak konjektur sepenuhnya, manakala sebanyak mana pun kes yang sepadan tidak dapat membuktikannya.
Pelajaran ini menyusuli pembentukan konjektur dan membawa kepada penerangan peraturan dengan algebra. Semuanya berada dalam penyiasatan International Mathematics.
Mengapa satu contoh penyangkal lebih kuat daripada banyak contoh?
Pernyataan am seperti “bagi semua nombor bulat positif n, ini benar” membuat janji tentang kes yang tidak terhingga banyaknya. Satu kes yang gagal memecahkan janji itu selama-lamanya.
Kes yang sepadan hanya bermakna ia belum memecahkannya. Maka apabila anda menguji konjektur, matlamat anda ialah cuba memecahkannya, bukan mengesahkannya.
Cara menguji konjektur dengan contoh penyangkal
- Tulis konjektur dengan tepat, termasuk nilai yang didakwa dilitupinya.
- Senaraikan nilai ujian yang wajar: nombor kecil dahulu, kemudian yang istimewa seperti 0, 1, nombor genap dan ganjil, nombor negatif dan pecahan jika dibenarkan.
- Gantikan dan selesaikan setiap satu dengan lengkap.
- Berhenti pada kegagalan pertama dan semak semula kerja anda.
- Nyatakan contoh penyangkal dengan jelas: nilainya, pengiraannya dan sebab kesimpulan itu palsu.
- Nyatakan apa yang kini diketahui: konjektur itu palsu seperti yang ditulis, dan anda boleh mencadangkan versi yang dibetulkan.
Contoh berlangkah
Konjektur: bagi setiap nombor bulat positif n, nombor n² + n + 1 ialah nombor perdana.
Langkah 1, uji nilai kecil:
| n | n² + n + 1 | Perdana? |
|---|---|---|
| 1 | 3 | ya |
| 2 | 7 | ya |
| 3 | 13 | ya |
| 4 | 21 | tidak |
Langkah 2, semak kegagalan: bagi n = 4, 4² + 4 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21. Oleh sebab 21 = 3 × 7, ia bukan nombor perdana.
Langkah 3, nyatakan contoh penyangkal: n = 4 ialah nombor bulat positif, tetapi n² + n + 1 = 21, iaitu nombor gubahan. Jadi konjektur itu palsu.
Jika diteruskan, pola itu mengelirukan untuk seketika: n = 5 memberi 31 dan n = 6 memberi 43, kedua-duanya perdana, tetapi n = 7 memberi 49 + 7 + 1 = 57 = 3 × 19. Lima kes sepadan daripada enam pun tidak menjadikan pernyataan itu benar.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan yang lazim ialah terus menguji nilai yang sepadan, kemudian mengisytiharkan konjektur itu terbukti.
Kerja yang salah: n = 5 memberi 31, n = 6 memberi 43, kedua-duanya perdana, jadi konjektur itu benar.
Ini kesepadanan, bukan bukti. Ia juga melangkau n = 4, di mana pernyataan itu gagal.
Pembetulannya ialah memilih nilai ujian dengan sengaja, mengikut susunan, dan menerima satu kegagalan sebagai penentu. Kesilapan kedua ialah memberi nilai yang tidak dilitupi pernyataan, seperti n = 0.5 bagi dakwaan tentang nombor bulat. Contoh penyangkal mesti memenuhi syarat pernyataan itu.
Semak kendiri
1. Konjektur: 2ⁿ − 1 ialah nombor perdana bagi setiap nombor bulat n ≥ 2. Cari satu contoh penyangkal.
Lihat jawapan
n = 2 memberi 3, n = 3 memberi 7, kedua-duanya perdana. n = 4 memberi 2⁴ − 1 = 16 − 1 = 15 = 3 × 5.
n = 4 ialah contoh penyangkal, jadi konjektur itu palsu.
2. Konjektur: bagi setiap nombor positif x, x² lebih besar daripada x. Cari satu contoh penyangkal.
Lihat jawapan
Cuba x = 1: 1² = 1, yang sama dengan x, bukan lebih besar. Cuba juga x = 0.5: 0.5² = 0.25, yang kurang daripada 0.5.
x = 1 ialah contoh penyangkal (begitu juga x = 0.5).
3. Konjektur: bagi setiap nombor bulat ganjil n, n² + 2 ialah nombor perdana. Cari satu contoh penyangkal.
Lihat jawapan
n = 1 memberi 3 dan n = 3 memberi 11, kedua-duanya perdana. n = 5 memberi 25 + 2 = 27 = 3 × 9.
n = 5 ialah contoh penyangkal.
Ke mana selepas ini
Konjektur yang lulus ujian yang jujur masih memerlukan sebab, jadi teruskan ke menerangkan peraturan am dengan algebra. Kemudian gunakan set latihan penyiasatan. Pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk menyemak sama ada nombor seperti 57 atau 1681 ialah nombor perdana.
Jika anda sukar memutuskan nilai ujian yang perlu dicuba, guru boleh memodelkan pencarian itu bersama anda dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu.