要说明结论的适用范围，就是写明你检验了哪些情形、规则是否已被证明、它声称适用于哪些值，并且不作超出这些的声称。措辞精确，才能把你发现的规律变成别人可以信赖的数学陈述。
这是International Mathematics 探究题路线的最后一步。它接在用代数解释规则之后，并与反例检验相呼应。
结论有哪三个层次？
你的声称有多强，取决于你的证据。有三个层次值得区分。
| 层次 | 你做了什么 | 如何表述 |
|---|---|---|
| 观察 | 核对了一些情形 | “规则对 n = 1 到 5 吻合。” |
| 猜想 | 还用新情形检验过 | “我猜想规则对 n ≥ 1 成立。” |
| 已证明 | 用代数或完整论证 | “对每个 n ≥ 1 都成立。” |
只有最后一个层次才可以用“总是”或“对所有”。前两个层次需要用“猜想”“似乎”或写明范围。
一步一步说明适用范围
- 列出你检验过的情形， 例如 n = 1 到 6。
- 说明规则是否已证明 以及如何证明，或说明它是猜想。
- 写明定义域： 规则声称适用的 n 的取值。
- 检查边界， 通常是最小的情形，并指出任何例外。
- 把超出证据的预测 标明为预测。
- 记下情境中的条件， 例如点处于一般位置，或有实际的上限。
例题
在圆上标出若干点，并把每两点用一条直弦连起来。这些弦把圆分成若干区域。
点的位置使得没有三条弦交于同一点。设 n 个点时的区域数为 R。
第 1 步，表格：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| R | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 31 |
第 2 步，观察： n = 1 到 5 时，数值每次翻倍，与 R = 2n−1 吻合。n = 6 时，这条规则预测为 32。
第 3 步，与证据对照： 仔细数 n = 6，结果是 31，不是 32。所以 R = 2n−1 在 n = 6 时失败。按反例的思路，这个猜想是错误的。
第 4 步，诚实的结论： “R = 2n−1 只对 n = 1 到 5 吻合。它对 n = 6 不成立，所以它不是区域数的一般规则。”
对你自己的探究题的启示：五个吻合的情形并不够。关于“没有三条弦交于一点”的条件也很重要，因为六个点的某些排列会得到更少的区域，所以这个声称针对的是处于一般位置的点。
要留意的错误
常见的失误，是写出超出证据的结论。
错误的结论： “区域数总是 2n−1，n = 1 到 5 已经说明了这一点。”
“总是”从未被证明，而且 n = 6 推翻了它。
纠正的方法，是让措辞与证据相符。对只与情形吻合的规则，写“对 n = 1 到 5 似乎成立”。对有证明的规则，写“对所有 n ≥ 1 成立，因为……”并给出理由。
自我检测
1. 一个 n × n 的正方形由小瓷砖拼成，只有边框上的瓷砖涂了色。n = 2 到 6 时的数量是 4、8、12、16、20。一名学生写出 4n − 4。已知 n = 1 时只有一块瓷砖，这名学生应该写明什么范围？
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n = 1 时规则给出 4 − 4 = 0，但那一块瓷砖就是边框瓷砖，所以实际数量是 1。这条规则只在 n ≥ 2 时有效。
n = 10 时给出 36，与 100 − 64 = 36 吻合（总瓷砖数减去内部 8 × 8 的正方形）。
2. 一名学生对 n = 1、2、3、4 检验了一条规则，然后写下“所以对所有 n 都成立”。请把这个结论改写得诚实一些。
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例如：“规则对 n = 1 到 4 吻合。我猜想它对所有 n ≥ 1 成立，但尚未证明。”这样写明了证据、声称和状态。
3. 前 n 个奇数之和在 n = 1 到 5 时与 n² 吻合。用它预测 n = 30 时的和，并说明这个预测有多可靠。
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预测值是 30² = 900。
单凭规律，它只是预测。如果你证明了这条规则，它就变得确定，例如用等差数列求和：n/2 × (1 + (2n − 1)) = n²。
接下来学什么
把这五个步骤一起用在探究题练习中。如果你想记录自己忘记写明的范围，错误记录与重测队列是个有用的伙伴，免计算器步骤训练器则支持快速核对数值。
老师可以阅读你写的结论，并指出措辞在哪里说得太多或太少。这样的反馈是线上一对一数学补习的一部分。