反例是一个满足陈述条件、却使结论不成立的情形。一个有效的反例就能彻底推翻猜想，而再多吻合的情形也不能证明它。
这一课接在提出猜想之后，并通向用代数解释规则。它们都属于International Mathematics 探究题。
为什么一个反例比许多例子更有力？
像”对所有正整数 n，这都成立”这样的一般陈述，是对无穷多个情形作出的承诺。只要有一个不成立的情形，这个承诺就永远被打破。
吻合的情形只是说明它暂时还没被打破。所以检验猜想时，你的目标应该是尝试打破它，而不是确认它。
怎样用反例检验猜想
- 准确写出猜想， 包括它声称涵盖的取值范围。
- 列出合理的检验值： 先试小的数，再试特殊的数，例如 0、1、偶数、奇数，以及在允许时的负数和分数。
- 代入并完整算出每一个。
- 在第一次失败处停下， 并再次检查计算。
- 清楚写出反例： 取值、计算过程，以及结论为何不成立。
- 说明现在已知的事： 猜想按原样陈述是错误的，你也可以提出修正后的版本。
例题
猜想：对每个正整数 n，n² + n + 1 是质数。
第 1 步，检验小的值：
| n | n² + n + 1 | 是质数吗？ |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 是 |
| 2 | 7 | 是 |
| 3 | 13 | 是 |
| 4 | 21 | 不是 |
第 2 步，核对失败的情形： n = 4 时，4² + 4 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21。因为 21 = 3 × 7，所以它不是质数。
第 3 步，写出反例： n = 4 是正整数，但 n² + n + 1 = 21，是合数。所以这个猜想是错误的。
继续算下去会发现，这个规律在一段时间内很有迷惑性：n = 5 得 31，n = 6 得 43，都是质数，但 n = 7 得 49 + 7 + 1 = 57 = 3 × 19。即使六个情形里有五个吻合，也不能使这条陈述成立。
要留意的错误
常见的失误，是一直检验吻合的值，然后宣布猜想已被证明。
错误的做法： n = 5 得 31，n = 6 得 43，都是质数，所以猜想成立。
这只是吻合，不是证明。它还跳过了 n = 4，而陈述正是在那里失败的。
纠正的方法，是有意识地按顺序选择检验值，并把一次失败视为决定性的。第二个失误，是给出陈述没有涵盖的值，例如针对整数的命题却给出 n = 0.5。反例必须满足陈述的条件。
自我检测
1. 猜想：对每个整数 n ≥ 2，2ⁿ − 1 是质数。找出一个反例。
查看答案
n = 2 得 3，n = 3 得 7，都是质数。n = 4 得 2⁴ − 1 = 16 − 1 = 15 = 3 × 5。
n = 4 是反例，所以猜想错误。
2. 猜想：对每个正数 x，x² 大于 x。找出一个反例。
查看答案
试 x = 1：1² = 1，等于 x，不是大于。再试 x = 0.5：0.5² = 0.25，小于 0.5。
x = 1 是反例（x = 0.5 也是）。
3. 猜想：对每个奇数 n，n² + 2 是质数。找出一个反例。
查看答案
n = 1 得 3，n = 3 得 11，都是质数。n = 5 得 25 + 2 = 27 = 3 × 9。
n = 5 是反例。
接下来学什么
经得起诚实检验的猜想仍然需要一个理由，所以接着学用代数解释一般规则。然后做探究题练习。免计算器步骤训练器可以用来核对 57 或 1681 这样的数是不是质数。
如果你不知道该试哪些检验值，老师可以在线上一对一数学补习中和你一起示范这种寻找的过程。