Bagi segi tiga yang tiada sudut tegak, pilih petua sinus (sine rule) apabila anda ada satu sisi dan sudut bertentangannya, dan petua kosinus (cosine rule) apabila anda ada dua sisi dan sudut di antaranya, atau ketiga-tiga sisi. Keputusan ini dibuat daripada maklumat yang diberi, sebelum sebarang butang ditekan.
Pelajaran ini menyusul trigonometri segi tiga bersudut tegak, yang anda guna apabila ada sudut tegak. Semak sukatan pelajaran Cambridge semasa untuk peringkat anda, kerana petua ini tergolong dalam kandungan Extended.
Apakah yang diperlukan oleh setiap petua?
Labelkan segi tiga supaya sisi a bertentangan dengan sudut A, sisi b dengan sudut B, dan sisi c dengan sudut C. Kedua-dua petua berbunyi:
- Petua sinus: a/sin A = b/sin B = c/sin C
- Petua kosinus: a² = b² + c² − 2bc kos A
Petua sinus menghubungkan setiap sisi dengan sudut yang bertentangan dengannya. Anda perlukan satu pasangan lengkap (satu sisi dengan sudut bertentangannya) dan satu lagi maklumat.
Petua kosinus menghubungkan tiga sisi dengan satu sudut. Ia alat yang sesuai apabila belum ada pasangan lengkap.
Rutin keputusan yang ringkas
- Tandakan apa yang diberi pada rajah: sisi dan sudut.
- Tanya: adakah satu sisi dan sudut bertentangannya, kedua-duanya diketahui? Jika ya, guna petua sinus.
- Jika tidak, tanya: adakah dua sisi dan sudut terangkum (included angle) diketahui, atau ketiga-tiga sisi? Guna petua kosinus.
- Tulis formula dengan huruf anda sebelum memasukkan nombor.
Jika dua sudut diberi, cari sudut ketiga dahulu kerana jumlah sudut ialah 180°. Langkah itu mencipta pasangan yang anda perlukan.
Contoh 1: petua sinus
Dalam segi tiga ABC, sudut A = 38°, sudut B = 75° dan BC = 9.2 cm. Cari AC.
Langkah 1, labelkan: BC bertentangan dengan A, jadi a = 9.2. AC bertentangan dengan B, jadi b ialah yang tidak diketahui.
Langkah 2, pilih: a dan A membentuk pasangan lengkap, dan sudut B diketahui. Guna petua sinus.
Langkah 3, gantikan: b / sin 75° = 9.2 / sin 38°.
Langkah 4, susun semula: b = 9.2 × sin 75° ÷ sin 38° = 8.887 ÷ 0.6157 = 14.43.
Jawapan: AC = 14.4 cm (3 angka bererti).
Contoh 2: petua kosinus
Dalam segi tiga PQR, PQ = 7 cm, PR = 10 cm dan sudut P = 52°. Cari QR.
Langkah 1, pilih: tiada pasangan sisi dan sudut bertentangan, tetapi sudut 52° berada di antara dua sisi yang diketahui. Guna petua kosinus.
Langkah 2, gantikan: QR² = 7² + 10² − 2 × 7 × 10 × kos 52° = 149 − 140 × 0.6157.
Langkah 3, darab sebelum menolak: 140 × 0.6157 = 86.19, jadi QR² = 62.81.
Langkah 4, punca kuasa dua: QR = 7.925.
Jawapan: QR = 7.93 cm (3 angka bererti).
Kesilapan yang perlu diawasi
Satu kesilapan biasa ialah menolak sebelum mendarab dalam petua kosinus.
Penyelesaian yang salah: 7² + 10² − 2 × 7 × 10 = 9, kemudian 9 × kos 52° = 5.54, jadi QR = 2.35.
Pelajar menganggap seluruh ungkapan sebagai (49 + 100 − 140) × kos 52°.
Sebutan 2bc kos A ialah satu hasil darab dan dikira dahulu. Barulah ia ditolak daripada b² + c².
Semakan yang baik ialah bertanya sama ada jawapan masuk akal: QR tidak boleh lebih pendek daripada beza dua sisi lain, iaitu 3 cm. Hasil 2.35 cm gagal ujian itu, dan 7.93 cm lulus.
Semak kendiri
1. Sebuah segi tiga mempunyai sisi 6 cm, 8 cm dan 11 cm. Anda mahu mencari satu sudut. Petua mana yang bermula dahulu?
Lihat jawapan
Tiada sisi yang sudut bertentangannya diketahui, dan ketiga-tiga sisi diketahui. Guna petua kosinus.
2. Dalam segi tiga XYZ, sudut X = 50°, sudut Y = 60° dan XZ = 12 cm. Cari YZ.
Lihat jawapan
XZ bertentangan dengan Y, dan YZ bertentangan dengan X. Petua sinus: YZ / sin 50° = 12 / sin 60°. Jadi YZ = 12 × 0.7660 ÷ 0.8660 = 10.61, iaitu 10.6 cm.
3. Dua sisi sebuah segi tiga ialah 5 cm dan 8 cm, dan sudut di antaranya 120°. Cari sisi ketiga.
Lihat jawapan
Petua kosinus: x² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × kos 120° = 89 − 80 × (−0.5) = 89 + 40 = 129. Jadi x = 11.36, iaitu 11.4 cm. Sudut cakah menjadikan kosinus negatif, maka sisi ketiga lebih panjang daripada kedua-dua sisi yang diketahui.
Ke mana selepas ini?
Bawa pilihan yang sama ke soalan arah dengan bearing dan garis utara, kemudian ke rajah perjalanan dua peringkat. Papan penaakulan segi tiga dan bearing meminta anda menyatakan petua sebelum mengira, dan itu membina tabiat yang baik. Pelatih kerja tanpa kalkulator membantu pengiraan.
Sesetengah pelajar boleh menggunakan setiap formula tetapi teragak-agak semasa memilih. Keputusan itulah yang diperhatikan guru kami dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu.