这组练习有十二道原创题，由易到难，涵盖三角方程与图像的全部五课。第 1 至 4 题是热身，第 5 至 8 题练习主要方法，第 9 至 12 题综合多项技能，并要求你核对解的个数。
请在纸上作答，题目要求”所有解”时就画草图。除非要求精确值，角度保留 1 位小数。先自己试做，再打开答案，标出做错的题，然后用末尾的引导清单补强。
题目
1. 解 sin x = 0.5，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
正弦为正，所以是第 1、2 象限。基本角是 30°。两个角是 30° 和 180° − 30° = 150°。
x = 30° 和 150°
2. 解 cos x = −0.8，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
余弦为负，所以是第 2、3 象限。基本角是 cos⁻¹(0.8) = 36.87°。第 2 象限：180° − 36.87° = 143.13°。第 3 象限：180° + 36.87° = 216.87°。
x = 143.1° 和 216.9°
检查：cos 143.13° ≈ −0.8，cos 216.87° ≈ −0.8。
3. 解 tan x = 3，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
正切为正，所以是第 1、3 象限。基本角是 tan⁻¹(3) = 71.57°。第 3 象限：180° + 71.57° = 251.57°。
x = 71.6° 和 251.6°
4. 对于 y = 1 − 4 sin 3x，写出振幅、周期、最大值和最小值。
查看答案
振幅 = |−4| = 4。周期 = 360°/3 = 120°。中线是 y = 1，所以最大值 = 1 + 4 = 5，最小值 = 1 − 4 = −3。
振幅 4，周期 120°，最大值 5，最小值 −3
5. 画出 y = 3 cos(2x − 40°)，x ≥ 0°。写出周期、水平平移，以及使 y = 3 的最小正数 x。
查看答案
周期：360°/2 = 180°。提取公因数：2x − 40° = 2(x − 20°)，所以向右移 20°。括号等于 0° 时取最大值 3，所以 x = 20°。
周期 180°，向右移 20°，y = 3 首次出现在 x = 20°
检查：3 cos(40° − 40°) = 3 cos 0° = 3。
6. 解 2 cos²x + cos x − 1 = 0，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
令 c = cos x。则 2c² + c − 1 = 0，因式分解为 (2c − 1)(c + 1) = 0，所以 c = 1/2 或 c = −1。
cos x = 1/2：基本角 60°，第 1、4 象限：x = 60° 和 300°。cos x = −1：x = 180°。
x = 60°、180°、300°
7. 解 cos(x − 20°) = 0.3，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
令 u = x − 20°，则 −20° ≤ u ≤ 340°。基本角是 cos⁻¹(0.3) = 72.54°，在第 1、4 象限：u = 72.54° 和 360° − 72.54° = 287.46°。−72.54° 低于 −20°，所以舍去。然后 x = u + 20°：92.54° 和 307.46°。
x = 92.5° 和 307.5°
检查：cos(72.54°) = 0.3，cos(287.46°) = 0.3。
8. 解 tan 2x = −1，范围 0° ≤ x ≤ 180°。
查看答案
令 u = 2x，则 0° ≤ u ≤ 360°。正切为负，所以是第 2、4 象限，基本角 45°：u = 135° 和 315°。然后 x = u/2。
x = 67.5° 和 157.5°
检查：0° 到 180° 之间正切有两个周期，所以有两个解。
9. sin 3x = −0.5 在 0° ≤ x ≤ 180° 内有几个解？请求解。
查看答案
周期是 120°，所以区间含 1.5 个周期。令 u = 3x，0° ≤ u ≤ 540°。sin u = −0.5 的基本角是 30°，在第 3、4 象限：u = 210° 和 330°。再下来的 570° 和 690° 太大。草图显示 360° 到 540° 这半个周期在零以上，所以没有漏掉交点。然后 x = u/3。
2 个解：x = 70° 和 110°
10. 曲线 y = a sin bx + c（a、b 为正数）的最大值是 7，最小值是 −3，周期是 90°。求 a、b、c。
查看答案
a = (7 − (−3)) ÷ 2 = 5。c = (7 + (−3)) ÷ 2 = 2。周期 360°/b = 90°，所以 b = 4。
y = 5 sin 4x + 2
检查：最大值 2 + 5 = 7，最小值 2 − 5 = −3，周期 360°/4 = 90°。
11. 解 2 sin x = √3，范围 0 ≤ x ≤ 2π，答案用精确值表示。
查看答案
sin x = √3/2，基本角是 π/3。正弦为正，所以是第 1、2 象限：x = π/3 和 π − π/3 = 2π/3。
x = π/3 和 2π/3
12. 解 tan 2x = 1，范围 0° ≤ x ≤ 360°。先说明你预期有几个解。
查看答案
tan 2x 的周期是 90°，所以 360° 内有 4 个周期，正切每个周期取每个值一次：预期 4 个解。令 u = 2x，0° ≤ u ≤ 720°。tan u = 1 在 u = 45°、225°、405°、585°。然后 x = u/2。
x = 22.5°、112.5°、202.5°、292.5°
做错了怎么办
把每种错误对应到能补强它的那一课。
- 只有一个解，或角度在区间之外（第 1、2、3、11 题）：请看在指定区间解三角方程。
- 周期或平移错误（第 5 题）：请看追踪相位移与周期。
- 出现 2x、3x 或括号后漏解，或关于 cos 的二次方程（第 6、7、8 题）：请看变量代换后找出所有根。
- 答案个数与草图不符（第 9、12 题）：请看用草图发现遗漏的解。
- 最大值、最小值或振幅错误（第 4、10 题）：请看把振幅变化与平移分开理解。
二次函数结构探索器和三角形与方位角推理板提供更多读图和选择关系的练习。把每个失误记在错题记录与重测队列里，几天后再试一道新题。
如果你想让老师检查你的书面演算，请看附加数学线上一对一补习。