要在某个区间内解三角方程，先用计算器求出一个基本角（basic angle），再用正负号选出答案所在的象限（quadrant），最后写出区间内的每一个角。只要题目写着”解 0° ≤ x ≤ 360°“，就会用到这项技能。
这是三角方程与图像的起点。它依赖你学过的精确值和图像形状，也支撑本单元后面的每一课。
怎样由一个角构造出所有解？
先把三角函数单独留在一边，使方程变成 sin x = k、cos x = k 或 tan x = k。然后按以下步骤：
- 求基本角。 不管 k 的正负号，对它的绝对值求反函数，得到一个锐角 α。
- 决定象限。 看 k 的正负号。正弦在第 1、2 象限为正，余弦在第 1、4 象限为正，正切在第 1、3 象限为正。
- 构造角度。 第 1 象限是 α，第 2 象限是 180° − α，第 3 象限是 180° + α，第 4 象限是 360° − α。
- 只保留区间内的角。 需要时加减 360°，超出范围就停止。
对 sin 和 cos，每个周期内的两个答案关于某条线对称；对 tan，两个答案刚好相差 180°。
例题详解
解 3 sin x + 1 = 0，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
第一步，整理： 3 sin x = −1，所以 sin x = −1/3。
第二步，基本角： α = sin⁻¹(1/3) = 19.47°（保留 2 位小数）。
第三步，象限： sin x 为负，所以 x 在第 3 或第 4 象限。
第四步，构造： x = 180° + 19.47° = 199.47°，x = 360° − 19.47° = 340.53°。
答案： x = 199.5° 和 340.5°（保留 1 位小数）。
检查： sin 199.47° ≈ −0.3333，sin 340.53° ≈ −0.3333。两个角都在区间内；画出 y = sin x，会看到直线 y = −1/3 在 0° 到 360° 之间与曲线相交两次。
要留意的错误
常见的失误是输入 sin⁻¹(−1/3)，然后就停在计算器的答案。
错误答案： x = −19.5°
这个角的正弦确实等于 −1/3，但它不在 0° ≤ x ≤ 360° 内，所以不是有效答案；另一个解也漏掉了。
改正的方法是只把计算器的角当作线索。取 α = 19.47°，由负号判断象限，再构造区间内的两个角。你也可以把 −19.47° 加上 360°，得到 340.53°，与第 4 象限的结果一致。
自我检测
除非是精确值，答案保留 1 位小数。
1. 解 cos x = 0.3，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
余弦为正，所以是第 1、4 象限。α = cos⁻¹(0.3) = 72.54°。两个角是 72.54° 和 360° − 72.54° = 287.46°。
x = 72.5° 和 287.5°
2. 解 tan x = −2，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
查看答案
正切为负，所以是第 2、4 象限。α = tan⁻¹(2) = 63.43°。第 2 象限：180° − 63.43° = 116.57°。第 4 象限：360° − 63.43° = 296.57°。
x = 116.6° 和 296.6°
3. 解 2 sin x = √3，范围 0 ≤ x ≤ 2π，答案用精确值表示。
查看答案
sin x = √3/2，这是 π/3 的精确值。正弦为正，所以是第 1、2 象限：x = π/3，x = π − π/3 = 2π/3。
x = π/3 和 2π/3
下一步
接下来追踪相位移与周期，看方程背后的图像如何变化。当函数里面不只是 x 时，请学习变量代换后找出所有根。三角形与方位角推理板让你练习先选关系再计算，无计算器运算训练则帮你保持精确值的熟练。
如果你看得懂这里的方法，但在考试压力下仍会漏解，我们的老师可以在附加数学线上一对一补习中检查你的演算过程。