解三角方程之前或之后，画出指定区间内三角函数的草图，再画出右边数值对应的水平线，然后数交点。交点的个数就是你应有的解的个数。每一道”找出所有解”的题目都会用到，而且这是本课题里最快的自我检查方法。
这项技能与基本角与象限的做法以及代换后被扩大的区间配合使用。这两种方法都能写出一份答案列表，但只有草图能告诉你列表是否完整。
怎样从草图数出解的个数？
- 求函数的周期，例如 sin 2x 的周期是 360°/2 = 180°，这用到你学过的周期知识。
- 数周期个数：用区间长度除以周期。
- 画出直线，代表方程右边。严格介于 −1 和 1 之间的值，每个周期与正弦或余弦相交两次。正切每个 180° 周期与任何值相交一次。
- 把预期的个数写在题目旁边，再与你的答案列表对照。
数量不符，就表示有遗漏或多写了，看看哪个周期没有标上交点，就知道问题在哪里。
例题详解
解 sin 2x = 0.6，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
第一步，先画草图： sin 2x 的周期是 180°，所以 360° 内有两个周期。直线 y = 0.6 与每个周期相交两次。预期有 4 个解。
第二步，令 u = 2x 求解： u 的区间是 0° ≤ u ≤ 720°。基本角是 sin⁻¹(0.6) = 36.87°。第一个周期：u = 36.87° 和 180° − 36.87° = 143.13°。第二个周期：u = 36.87° + 360° = 396.87° 和 143.13° + 360° = 503.13°。
第三步，换回： x = u/2，所以 x = 18.43°、71.57°、198.43°、251.57°。
答案： x = 18.4°、71.6°、198.4°、251.6°（保留 1 位小数）。
检查： 列表有 4 个值，与草图吻合。代入验证：sin(2 × 71.57°) = sin 143.13° = 0.6。
要留意的错误
常见的失误是找到两个答案就停下，因为基本方法通常就给出两个。
错误答案： x = 18.4° 和 71.6°
学生只解了一次 sin u = 0.6 再除以 2，没有问过有几个周期。区间只覆盖了前一半。
改正的方法是计算前先画出两个波。草图显示有两个波峰，每个都被直线交两次，空着的第二个波峰就指出了遗漏的解。有了草图，四个值的列表就很容易对照图像核实。
自我检测
1. cos 3x = 0.2 在 0° ≤ x ≤ 360° 内有几个解？
查看答案
周期是 360°/3 = 120°，所以 360° 内有 3 个周期。0.2 介于 −1 和 1 之间，每个周期有两个交点：3 × 2 = 6。
6 个解
2. 解 tan 2x = 1，范围 0° ≤ x ≤ 180°。你的草图预测有几个解？
查看答案
tan 2x 的周期是 90°，所以 180° 内有 2 个周期，而正切每个周期取每个值一次：共 2 个解。令 u = 2x，0° ≤ u ≤ 360°。tan u = 1 在 u = 45° 和 225°，所以 x = 22.5° 和 112.5°。
x = 22.5°、112.5°
3. 解 sin(x/2) = 0.8，范围 0° ≤ x ≤ 720°。
查看答案
周期是 720°，只有一个周期：预期 2 个解。令 u = x/2，0° ≤ u ≤ 360°。sin⁻¹(0.8) = 53.13°，所以 u = 53.13° 和 126.87°。然后 x = 2u。
x = 106.3° 和 253.7°
下一步
最后一课把振幅变化与平移分开理解，说明曲线同时被拉伸和抬高时，草图需要包含什么。
之后用综合练习题组检测全部内容。二次函数结构探索器培养的是同样的习惯：用数字核对图像。无计算器运算训练则帮你磨练精确值。
如果你想让老师确认你的草图真的抓出了遗漏的答案，附加数学线上一对一补习是其中一个地方。