对于 y = a sin(bx + c) 或 y = a cos(bx + c)，数字 b 决定周期（period），而括号在提取公因数后决定水平平移。当题目给出方程，要你画草图、求最大值点或重复长度时，就会用到这些。
本课建立在三角方程与图像中的图像形状，以及你在指定区间解方程中求出的根之上。
怎样读出周期和平移？
把方程看成基本曲线加上三种变化。
- 周期。 基本的 sin x 和 cos x 每 360° 重复一次。里面是 bx 时，周期为 360°/b。基本 tan x 每 180° 重复，所以 tan bx 的周期是 180°/b。
- 平移。 先提取公因数，让 x 单独出现：bx + c = b(x + c/b)。括号里是加号，图像向左移 c/b；是减号，则向右移。
- 关键点。 标出波开始一个周期的位置，再用四分之一周期来确定最大值、穿过中线的点和最小值。
周期永远是正的长度。平移要在提取公因数之后读，而不是之前。
例题详解
描述 y = 3 sin(2x − 60°) + 1，并指出 x ≥ 0° 时第一个最大值出现在哪里。
第一步，振幅与中线： 3 是振幅，+1 把中线抬到 y = 1。高度范围从 1 − 3 = −2 到 1 + 3 = 4。
第二步，周期： b = 2，所以周期是 360°/2 = 180°。
第三步，平移： 提取公因数 2x − 60° = 2(x − 30°)。曲线是基本正弦形状向右移 30°。
第四步，关键点： 周期从中线上的 x = 30° 开始，此时 y = 1。四分之一周期是 180°/4 = 45°，所以第一个最大值在 x = 30° + 45° = 75°，值为 4。
检查： 代入 x = 75°：3 sin(150° − 60°) + 1 = 3 sin 90° + 1 = 4。再看最小值，在 x = 165°：3 sin(330° − 60°) + 1 = 3 sin 270° + 1 = −2。
要留意的错误
常见的失误是直接从括号里的数字读出平移量。
错误答案： “向右移 60°，第一个最大值在 x = 60° + 45° = 105°。”
代入验证：3 sin(210° − 60°) + 1 = 3 sin 150° + 1 = 2.5，并不是最大值。
2 乘的是 x，所以平移量是 60°/2 = 30°。先提取公因数就能发现这一点。检查那一行的代入验证，是交卷前发现平移出错最快的方法。
自我检测
1. 写出 y = cos(3x + 90°) 的周期和平移。
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周期：360°/3 = 120°。提取公因数：3x + 90° = 3(x + 30°)，所以向左移 30°。
周期 120°，向左移 30°
2. y = 2 sin(x/2) 的周期是多少？0° 到 720° 之间有几个完整的波？
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这里 b = 1/2，周期是 360° ÷ 1/2 = 720°。0° 到 720° 之间刚好有一个完整的波。
周期 720°，一个波
3. 对于 y = 4 cos(2x − π/3)，求周期，以及 y 取最大值时最小的正数 x（用弧度）。
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周期：2π/2 = π。提取公因数：2x − π/3 = 2(x − π/6)，所以向右移 π/6。余弦在括号等于 0 时最大，所以 x = π/6，y = 4。
周期 π，最大值在 x = π/6
下一步
接着把周期用在更难的方程上，学习变量代换后找出所有根。二次函数结构探索器展示图像的关键点如何与方程对应，这和把图像与数字配对是同一种习惯。无计算器运算训练能帮你练好求关键点所需的精确值。
平移与周期的题目，只要有人一步一步检查你的草图就会容易得多，这正是附加数学线上一对一补习会做的事。