把振幅变化与平移分开理解

在 y = a sin(bx) + c 中，数字 a 改变振幅（amplitude），也就是波有多高；数字 c 把整条图像上下平移。它们的作用不同，要写出最大值、最小值和值域，两者都需要。当题目要你求某个式子的最大或最小值，或要你从图像求 a、b、c 时，就会用到。

它建立在追踪周期与相位移，以及三角方程与图像中的图像形状之上。

怎样把这两种变化分开？

1. 先看中线。 末尾加上的常数 c，决定了波围绕振荡的水平线 y = c。
2. 再看振幅。 系数 a 把波在竖直方向拉伸。振幅是 |a|，一定是正数。
3. 最大值与最小值。 最大值 = c + |a|，最小值 = c − |a|。y 的值域是从最小值到最大值之间的所有值。
4. a 为负会使波反射。 波峰变成波谷，但振幅和中线不变。

水平平移又是另一种变化。它在括号里面，就是上一课读出的那种平移，不会改变最大值或最小值。

例题详解

对于 0° ≤ x ≤ 360° 的 y = 2 − 3 sin x，写出振幅、最大值与最小值，以及它们出现的位置。

第一步，把常数放到最后： y = −3 sin x + 2。

第二步，中线与振幅： c = 2，所以中线是 y = 2。系数是 −3，所以振幅是 |−3| = 3。

第三步，最大值与最小值： 最大值 = 2 + 3 = 5，最小值 = 2 − 3 = −1。值域是 −1 ≤ y ≤ 5。

第四步，出现位置： 最大值需要 sin x = −1，即 x = 270°。最小值需要 sin x = 1，即 x = 90°。

检查： x = 270° 时，y = 2 − 3(−1) = 5。x = 90° 时，y = 2 − 3(1) = −1。x = 0° 时，y = 2，刚好在中线上。

要留意的错误

常见的失误是把最大值当成振幅，或者忘了符号。

错误答案： “振幅是 5，因为这是最高的 y 值。”

5 是最大值，不是振幅。它包含了上下平移带来的抬高量 2。

改正的方法是从中线量起，而不是从零量起。振幅是 5 − 2 = 3。

另一个检查是 (最大值 − 最小值) ÷ 2 = (5 − (−1)) ÷ 2 = 3。如果图像没有向上平移，振幅和最大值就会相等，所以这种混淆才这么容易发生。

自我检测

1. 写出 y = 4 sin x + 2 的最大值和最小值。

2. y = a cos x + c（a > 0）的图像最大值是 9，最小值是 1。求 a 和 c。

3. 对于 y = 1 − 2 cos 3x，写出振幅、周期和最大值。

下一步

五项技能都学完后，用综合练习题组一起检测，合适的话可使用错题记录与重测队列。二次函数结构探索器把二次函数的转折点和图像并排展示，是练习从图像读数值的好方法。无计算器运算训练则支持算术部分。

如果图像题仍然像一堆规则，附加数学线上一对一补习能让老师请你用自己的话解释每一种变化。