说明项的位置与项的值之别

位置（position）n 告诉你某一项在数列中排第几。项的值是排在那里的数。公式输入一个位置，输出一个值，而题目可以从两个方向来问。

这一课为数列与规律公式模块收尾，用到你在求线性项公式中学到的公式。

为什么这两个概念会被混淆？

在数列 3, 8, 13, 18 中，8 是第二项。人们在同一口气里说出”8”和”2”。

考试题的措辞也不总是帮得上忙。“求第 20 项”给出位置，要求值。“哪一项是 98？“给出值，要求位置。

公式 5n − 2 在一个方向上可以直接使用：代入 n，得到值。另一个方向需要解方程。

解题步骤

1. 读题：题目给的是位置还是值？
2. 给出位置：把它代入 n。
3. 给出值：令公式等于该值，解出 n。
4. 检查 n：它必须是正整数。如果不是，这个值就不在数列中。
5. 按题目的用语作答：问位置就说”第 20 项”，问值就给出数字。

例题详解

某数列的第 n 项是 5n − 2，给出 3, 8, 13, 18, …

(a) 哪一项等于 98？ 令 5n − 2 = 98。于是 5n = 100，n = 20。98 是第 20 项。

(b) 150 是数列中的项吗？ 令 5n − 2 = 150。于是 5n = 152，n = 30.4。这不是整数，所以 150不是数列中的项。

(c) 第一个大于 200 的项是什么？ 解 5n − 2 > 200。于是 5n > 202，n > 40.4。最小的整数位置是 41。值是 5 × 41 − 2 = 203。检验：位置 40 给出 198，低于 200。

每个答案都只用 n 来求位置，只有在题目要求时才报告值。

要留意的错误

常见的失误是把值放到 n 的位置。

错误答案： “哪一项是 98？” 5 × 98 − 2 = 488，所以是第 488 项。

学生把 98 当作位置，代入了 n。

题目给的是值，所以 98 应该等于整个公式，而不是 n。检验方法是问自己：这个数应该放在公式的哪一边。位置代入公式，值从公式出来，所以给出的值要放在等号的另一边。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 第 n 项是 4n + 3。哪一项等于 83？

2. 100 是第 n 项为 4n + 3 的数列中的项吗？

3. 求数列 4n + 3 中第一个大于 500 的项。

下一步

用数列练习题组把整个模块串起来。数列与级数实验室让你试一个公式，看哪个位置给出你选定的值。无计算器运算训练则帮助你处理方程步骤。

依赖正确读题的题目，正是数学线上一对一补习的老师最能帮上忙的地方，因为失误出在理解上，而不是计算上。