数列与级数实验室有两种用法。第一种，你给出 a、d 或 r 以及 n，它会写出各项、第 n 项和前 n 项的和，并列出每一步。第二种，你给出一串数字，它会检验哪些简单规律可以产生它们。
它想传达的主要道理是：几项数字可能符合不止一种规律，所以规律必须被论证，而不是猜出来。
怎么使用？
如果你知道 a、d 或 r，以及 n：
- 选择我知道 a、d 或 r，以及 n。
- 选择等差（公差 d）或等比（公比 r）。
- 输入首项 a、公差 d 或公比 r，以及项数 n。
- 按显示过程。
如果你有一串数字：
- 选择我有一串数列的项。
- 按顺序输入各项，用逗号隔开，例如 1, 2, 4。
- 按显示过程。
重置回到示例。
怎么看结果？
第一种模式会显示前几项、第 n 项和前 n 项的和，每一项都有公式、代入和答案。对于等比数列，工具还会根据 |r| 是否小于 1，说明无穷和是否存在。
列表模式会显示一阶差和相邻项的比，然后列出候选规律：等差、等比和二次。每个候选规律都给出下一项。如果不止一条规律符合，会有提醒说明有限的数据无法给出唯一的规律。
示例演示
示例是等差数列 a = 3、d = 2、n = 5。各项为 3、5、7、9、11。第 n 项是 3 + (5 − 1) × 2 = 11。
和是 5 ÷ 2 × (2 × 3 + 4 × 2) = 5 ÷ 2 × 14 = 35。你可以直接相加验证：3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35。
切换到等比，a = 3、r = 2、n = 5。各项为 3、6、12、24、48，和是 3(1 − 2⁵) ÷ (1 − 2) = 93。由于 |r| 是 2，不存在无穷和。
改用 r = 0.5，工具给出 3 ÷ (1 − 0.5) = 6。
现在切换到列表模式，输入 1, 2, 4。差是 1 和 2，所以不是等差。比都是 2，所以符合等比规律，下一项是 8。
二阶差恒为 1，所以也符合二次规律，下一项是 7。两条规律，两个不同的下一项。这正是这个实验室要说明的事。
有哪些假设和限制？
- 参数模式假设数列从首项起严格是等差或等比，且 n 是正整数（最多 1000）。
- 列表模式接受 2 到 30 项。
- 找到一条符合的规律，并不代表它就是真正的规律。在你一般性地证明之前，它只是猜想。
- 工具只检验等差、等比和二次规律。其他规律存在，但不会被找出来。
- 无穷等比和要求 |r| < 1。不存在时工具会提示。
哪些课程解释了背后的道理？
- 数列与规律练习提供关于识别和论证规律的混合题。
- 由两个数列条件求某一项讲解如何用两个条件求出 a 和 d 或 r。
- 计算有限等差级数的和解释这里用到的求和公式。
- 由各项求出公比从已知各项倒推。
- 只在条件成立时使用无穷和解释 |r| < 1 的检查。
- 等差与等比级数练习提供混合题。
更大的主题是等差与等比级数。如果想让老师检查你在真实题目上的思路，请看线上一对一附加数学补习。其他工具见学习工具目录。