检验项公式，就是代入一个没有用来建立公式的位置，再把结果与数列的实际情况比较。当题目要求”证明”、“求第 50 项”或”解释为什么”公式成立时，这一步很重要。
为什么检验一次不够？
公式是用几项数据建立的，所以这几项一定吻合。用建立公式的项来检验，得不到任何新信息。真正的考验是更靠后的项。
对线性公式，两项吻合就足够了，因为一条直线由两个点确定。对弯曲的规律，你需要一个超出已用各项之外的项，并且要说明你的假设。
检验公式的步骤
- 选一个较远的位置，必须是建立公式时没用过的，例如 n = 10 或 n = 25。
- 代入你的公式。
- 用另一种方法求同一项，例如逐项往后数，或继续写出规律。
- 比较。两个值一致，公式通过；不一致，先找出错误再继续。
- 写明假设，如果题目只给了几项。
例题详解
一位学生说 7, 10, 13, 16, … 的第 n 项是 3n + 4。检验这个公式，并求第 12 项。
第一步，选较远位置： 选 n = 12。
第二步，代入： 3 × 12 + 4 = 36 + 4 = 40。
第三步，逐项往后数： 第一项是 7，共有 11 个 3 的步长，所以 7 + 11 × 3 = 7 + 33 = 40。
第四步，比较： 两种方法都得 40，公式通过。第 12 项是 40。
注意这两种方法互相独立。公式用的是代数式，往后数用的只是原来的规律。
要留意的错误
更严重的失误，是把很短的数列当成证据。
错误答案： “1, 2, 4 每次翻倍，所以第 n 项是 2^(n − 1)，第 10 项是 512。”
学生找到了一个吻合的规律，却没有检查是否还有别的规律也吻合。
二次公式 (n² − n + 2)/2 在 n = 1, 2, 3 时同样给出 1, 2, 4。当 n = 4 时，它给出 (16 − 4 + 2)/2 = 7，而翻倍给出 8。
这两个公式都符合题目给的三项，只有第四项才能区分它们。改正的方法是写明假设（“假设数列继续翻倍”），或者利用题目中的额外信息。
自我检测
先不用计算器试做，再打开答案核对。
1. 数列 7, 10, 13, 16, … 的公式是 3n + 4。在 n = 20 处检验这个公式。
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用公式：3 × 20 + 4 = 64。逐项往后数：7 + 19 × 3 = 7 + 57 = 64。两个值一致，公式通过，第 20 项是 64。
2. 一位学生说 5, 8, 11, … 的第 n 项是 2n + 3。用一项说明这个公式是错的，再给出正确公式。
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n = 3 时，公式得 2 × 3 + 3 = 9，但第三项是 11。所以公式不成立。
差是 3，所以公式以 3n 开头。3n 给出 3, 6, 9，而各项是 5, 8, 11，所以常数项是 2。正确公式是 3n + 2。检验 n = 3：9 + 2 = 11。
3. 2, 4, 8 吻合”每次翻倍”这个规律，也吻合 n² − n + 2。分别用两个公式求第 4 项。
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翻倍：8 × 2 = 16。二次公式：4² − 4 + 2 = 16 − 4 + 2 = 14。
两个公式在三项上一致，在第四项上不同，所以只凭三项无法在它们之间做选择。
下一步
下一个问题是数列遵循哪一种变化，这是区分等差变化与等比变化的重点。之后，数列练习题组会综合所有技能。数列与级数实验室可以由两个公式生成各项，让你看到它们在哪里分开。
有些学生觉得检验这一步是多余的工作，直到第一次用它抓出错误的公式。数学线上一对一补习的老师可以帮你把它养成几秒钟就能完成的习惯。